Introduction aux notions abordées

L'exercice 6 du sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2016 (Métropole) est une étude de cas concrète mêlant plusieurs domaines fondamentaux du programme de 3ème. Ce type d'exercice, souvent qualifié de 'problème complexe' ou 'tâche complexe', demande de croiser des informations provenant de plusieurs documents. Les thématiques traitées ici sont les grandeurs composées (prix au m²), la proportionnalité (coût total), la trigonométrie (pente du toit), le théorème de Pythagore (calcul de longueurs) et les pourcentages (majoration de surface).

Analyse Méthodique du Document 1 et 2

Pour réussir cet exercice, la première étape est une lecture attentive des schémas. On nous présente une véranda adossée à un mur. Le point clé est de visualiser le triangle rectangle $DCE$. En effet, le toit est incliné, et cette inclinaison est définie par les segments verticaux et horizontaux fournis.

Analyse de la Question 1 : Le calcul de proportionnalité

La question 1 demande de retrouver le prix au m² des 'tuiles régence'. C'est une application directe de la proportionnalité liée aux grandeurs composées. Le document 2 indique que pour le modèle Régence :
- Quantité au m² : $19$ tuiles.
- Prix à l'unité : $1,2$ €.

Le raisonnement à mener est le suivant : si une tuile coûte $1,2$ € et qu'il en faut $19$ pour couvrir un mètre carré, alors le prix pour $1$ m² est le produit de ces deux valeurs.
Calcul : $19 \times 1,2 = 22,8$.
Le prix au m² des tuiles régence est donc de $22,80$ €.

Analyse de la Question 2 : Trigonométrie et pente du toit

Cette question nécessite de mobiliser les outils de la géométrie plane. On cherche la mesure de l'angle $\widehat{DEC}$. Pour cela, nous devons travailler dans le triangle $DCE$.

Étape 1 : Calculer la longueur $DC$. Le document 1 donne $BD = 3,10$ m et $BC = 2,10$ m. Comme les points $B, C, D$ sont alignés (verticale du mur), on a : $DC = BD - BC = 3,10 - 2,10 = 1,00$ m.
Étape 2 : Utiliser la trigonométrie. Dans le triangle $DCE$ rectangle en $C$, nous connaissons le côté opposé à l'angle recherché ($DC = 1$ m) et le côté adjacent ($EC = 2,85$ m). La formule de la tangente est donc la plus appropriée : $\tan(\widehat{DEC}) = \frac{DC}{EC} = \frac{1}{2,85}$.
À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $2^{nd}$ Tan), on trouve : $\widehat{DEC} \approx 19,3^{\circ}$.

Étape 3 : Conclusion comparative. On compare cette valeur aux seuils de pose du Document 2 :
- Modèle Romane : Pente minimale de $15^{\circ}$ ($19,3 > 15$, donc possible).
- Modèle Régence : Pente minimale de $18^{\circ}$ ($19,3 > 18$, donc possible).
La pente du toit permet donc la pose de n'importe quel modèle.

Analyse de la Question 3 : Calcul d'aire, Pythagore et Pourcentages

C'est ici que la difficulté augmente car il faut enchaîner plusieurs calculs. Mélanie choisit les tuiles romanes.

Étape 1 : Calculer la longueur du toit. Le toit $EDGF$ est un rectangle. Sa largeur est $EF = 6,10$ m. Sa longueur est $ED$. Pour trouver $ED$, on utilise le théorème de Pythagore dans le triangle $DCE$ rectangle en $C$ :
$ED^2 = EC^2 + DC^2 = 2,85^2 + 1,00^2 = 8,1225 + 1 = 9,1225$.
Donc $ED = \sqrt{9,1225} \approx 3,02$ m.

Étape 2 : Calcul de l'aire réelle. L'aire du rectangle est $Longueur \times largeur = ED \times EF \approx 3,02 \times 6,10 \approx 18,422$ m².

Étape 3 : Application du pourcentage. Le vendeur conseille d'augmenter cette surface de $5$ %. Multiplier une valeur par une augmentation de $5$ % revient à la multiplier par $1,05$ (coefficient multiplicateur).
Surface à commander : $18,422 \times 1,05 \approx 19,3431$ m².

Étape 4 : Calcul du nombre de tuiles. Le document 2 précise qu'il faut $13$ tuiles romanes par m².
Nombre de tuiles $= 19,3431 \times 13 \approx 251,46$.
Comme les tuiles sont vendues à l'unité, Mélanie doit prévoir d'acheter $252$ tuiles (on arrondit à l'unité supérieure pour couvrir toute la surface).

Les Pièges à éviter

1. La confusion des côtés : Dans le calcul de la tangente, ne confondez pas le côté opposé et le côté adjacent. Une erreur ici fausse tout le reste de l'exercice.
2. L'oubli de la différence de hauteur : Beaucoup d'élèves utilisent directement $BD$ au lieu de $DC$. Il est crucial de soustraire la hauteur du mur sous la véranda ($BC$) pour obtenir la hauteur propre au triangle du toit.
3. Les arrondis prématurés : Si vous arrondissez $ED$ trop tôt (par exemple à $3$), le résultat final sur le nombre de tuiles peut être faussé. Gardez les valeurs exactes ou avec $3$ décimales sur votre calculatrice jusqu'à l'étape finale.
4. L'unité de vente : On ne peut pas acheter $251,46$ tuiles. Dans un contexte de chantier, on arrondit toujours à l'entier supérieur.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation :
- Citez explicitement le triangle dans lequel vous travaillez et précisez qu'il est rectangle pour justifier l'usage de la trigonométrie ou de Pythagore.
- Nommez les propriétés utilisées ('D'après le théorème de Pythagore...').
- Faites des phrases de conclusion claires avec les unités ($^{\circ}$, m², €, tuiles).
- Encadrez vos résultats intermédiaires pour aider le correcteur à suivre votre cheminement logique.