Introduction aux Fonctions et à l'Outil Tableur

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2016 (Zone Asie) est un exemple parfait de la transversalité attendue au collège. Il mêle deux piliers du programme de mathématiques de 3ème : les fonctions affines et quadratiques d'une part, et l'usage d'un tableur (type Excel ou Calc) d'autre part. Comprendre comment passer d'une expression algébrique à une cellule de calcul est une compétence fondamentale pour l'épreuve.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé présente deux fonctions distinctes : $f(x) = 2x + 1$ (une fonction affine) et $g(x) = x^2 + 4x - 5$ (une fonction du second degré). Léa utilise un tableur pour automatiser le calcul des images pour différentes valeurs de $x$ allant de $-3$ à $3$.

1. Calcul d'Image : L'image de 3 par $f$

Pour répondre à la première question, deux méthodes s'offrent à toi. La première consiste à lire le tableau : dans la colonne H (où $x=3$), la ligne 2 (correspondant à $f(x)$) affiche la valeur 7. La seconde méthode est le calcul algébrique : en remplaçant $x$ par $3$ dans l'expression $f(x)$, on obtient $f(3) = 2 \times 3 + 1 = 6 + 1 = 7$. Il est toujours préférable de mentionner la lecture du tableau tout en confirmant par le calcul pour sécuriser les points.

2. Calcul en Cellule : La cellule C3

La cellule C3 correspond à la valeur de la fonction $g(x)$ lorsque $x = -2$. L'en-tête de la capture d'écran nous donne d'ailleurs la formule saisie dans B3 : =B1*B1+4*B1-5. Pour C3, le tableur calcule donc $(-2)^2 + 4 \times (-2) - 5$. Détail du calcul : $4 - 8 - 5 = -4 - 5 = -9$. Attention à bien respecter la priorité des opérations et la règle des signes lors du calcul du carré d'un nombre négatif.

3. Saisie de Formule Tableur

C'est une question classique du Brevet. Pour la cellule B2, qui calcule $f(x)$, on doit traduire l'expression $2x + 1$. En langage tableur, la variable $x$ est située dans la cellule B1. La formule doit impérativement commencer par le signe égal. On saisira donc : =2*B1+1. N'oublie pas l'astérisque (*) pour la multiplication, le tableur ne comprend pas la notation $2B1$.

4. Résolution d'Inéquation par Lecture Graphique/Tableau

On cherche une solution de $2x + 1 < x^2 + 4x - 5$, ce qui revient à chercher pour quelle valeur de $x$ la valeur de $f(x)$ (ligne 2) est strictement inférieure à celle de $g(x)$ (ligne 3). En observant les colonnes G et H, on constate :
- Pour $x=2$ : $f(2)=5$ et $g(2)=7$. Comme $5 < 7$, $x=2$ est une solution.
- Pour $x=3$ : $f(3)=7$ et $g(3)=16$. Comme $7 < 16$, $x=3$ est aussi une solution.
Une seule valeur suffit puisque l'énoncé demande "une" solution.

5. Recherche d'Antécédent

Déterminer l'antécédent de $1$ par $f$ revient à résoudre l'équation $f(x) = 1$.
$2x + 1 = 1$
$2x = 1 - 1$
$2x = 0$
$x = 0$.
En regardant le tableau dans la colonne E ($x=0$), on vérifie bien que $f(0)=1$. L'antécédent de $1$ par la fonction $f$ est donc $0$.

Les Pièges à Éviter

1. Confondre Image et Antécédent : Rappelle-toi que l'image est le résultat (en ordonnée), alors que l'antécédent est la valeur de départ (en abscisse).
2. Les signes dans le tableur : Lors du calcul manuel de $g(-2)$, l'erreur fréquente est d'écrire $-2^2 = -4$ au lieu de $(-2)^2 = 4$. Le carré d'un nombre réel est toujours positif.
3. Oublier le '=' : Dans une question sur le tableur, une formule sans le signe égal est considérée comme fausse.

Conseils de Rédaction

Pour maximiser tes points le jour J :
- Cites explicitement les cellules du tableau (ex: "D'après la cellule G2 et G3...").
- Présente tes calculs en ligne de manière claire.
- Pour l'inéquation, même si la justification n'est pas demandée, écris une phrase courte du type : "On remarque que pour $x=2$, $f(x)=5$ et $g(x)=7$, donc $f(x) < g(x)$". Cela prouve au correcteur que tu n'as pas répondu au hasard.