Introduction au Programme de Calcul et à l'Algèbre
Les programmes de calcul constituent un pilier fondamental de l'épreuve de mathématiques du Brevet des Collèges. Cet exercice, extrait du sujet de Polynésie 2016 (Exercice 2), mobilise des compétences clés du cycle 4 : la manipulation d'expressions littérales, le développement, et la distinction entre une conjecture et une démonstration mathématique. L'objectif est de transformer des instructions textuelles en une expression algébrique structurée pour prouver des propriétés numériques.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice se décompose en deux phases : une phase expérimentale (tests sur des nombres choisis) et une phase de généralisation (preuve par le calcul littéral).
1. Application directe au nombre 3
Pour la première question, il s'agit de suivre scrupuleusement les étapes :
• Choisir 3.
• Ajouter 1 : $3 + 1 = 4$.
• Carré du résultat : $4^2 = 16$.
• Enlever le carré du nombre de départ : $16 - 3^2 = 16 - 9 = 7$.
La démonstration est faite, on obtient bien 7.
2. Analyse des Affirmations : Le passage au calcul littéral
L'affirmation n°1 suggère que le résultat se termine toujours par 7. Testons avec les nombres demandés :
• Pour 8 : $(8+1)^2 - 8^2 = 81 - 64 = 17$. L'unité est bien 7.
• Pour 13 : $(13+1)^2 - 13^2 = 14^2 - 13^2 = 196 - 169 = 27$. L'unité est bien 7.
Cependant, en mathématiques, deux exemples ne font pas une vérité absolue. Si l'on choisit le nombre 1 : $(1+1)^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$. Le chiffre des unités est 3, donc l'affirmation 1 est **fausse** en général.
3. Preuve de l'Affirmation n°2
L'affirmation n°2 prétend que le résultat est la somme du nombre de départ et de son suivant. Traduisons le programme pour un nombre $n$ quelconque :
Le programme donne : $(n + 1)^2 - n^2$.
Utilisons l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ ou développons simplement :
$(n + 1)^2 - n^2 = (n^2 + 2n + 1) - n^2 = 2n + 1$.
Or, la somme du nombre de départ $n$ et du suivant $(n+1)$ est : $n + (n + 1) = 2n + 1$.
Les deux expressions étant identiques, l'affirmation 2 est **vraie** pour tout nombre entier choisi au départ.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal dans ce type d'exercice réside dans l'oubli des parenthèses lors de la mise au carré du résultat intermédiaire. Écrire $n + 1^2$ au lieu de $(n+1)^2$ change totalement le calcul. Un autre piège fréquent est de croire qu'un exemple suffit pour prouver une affirmation. N'oubliez jamais : un contre-exemple suffit pour invalider une proposition, mais mille exemples ne suffisent pas à la prouver ; seule la démonstration littérale (avec la variable $n$ ou $x$) est souveraine.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points :
1. Détaillez chaque étape du calcul pour la question 1.
2. Pour les affirmations, présentez vos calculs clairement dans un tableau ou sous forme de liste.
3. Utilisez des phrases de conclusion explicites : 'L'affirmation est vraie car...' ou 'L'affirmation est fausse comme le montre le contre-exemple...'.
4. Maîtrisez le développement de $(n+1)^2$, c'est un classique qui revient quasiment chaque année.