Introduction aux fondamentaux du Brevet : Fonctions, Inéquations et Vitesses

L'exercice 4 du sujet de Mathématiques du Brevet de la Métropole 2016 est un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce format, bien que ne demandant pas de justification, exige une maîtrise rigoureuse des concepts de 3ème : le calcul littéral via les inéquations, la lecture graphique des fonctions affines et les conversions de grandeurs physiques comme la vitesse. Cet exercice permet de tester la rapidité et la précision de l'élève sur des points clés du programme. Nous allons décomposer chaque question pour comprendre les mécanismes mathématiques sous-jacents.

Analyse de la Question 1 : Tester une solution d'inéquation

La première question demande d'identifier quelle inéquation admet le nombre 2 comme solution. Tester une valeur dans une inéquation est une compétence fondamentale du calcul littéral. Pour résoudre ce problème, la méthode la plus efficace est la substitution. Nous remplaçons $x$ par 2 dans chaque proposition :

• Pour la proposition a : $x < 2$ donne $2 < 2$. Cette affirmation est fausse car l'inégalité est stricte.
• Pour la proposition b : $-4x - 3 > -10$ devient $-4(2) - 3 = -8 - 3 = -11$. Or, $-11$ est plus petit que $-10$, donc $-11 > -10$ est faux.
• Pour la proposition c : $5x - 4 \leqslant 7$ devient $5(2) - 4 = 10 - 4 = 6$. Comme $6 \leqslant 7$ est une proposition vraie, le nombre 2 est bien une solution.
• Pour la proposition d : $8 - 3x \geqslant 3$ devient $8 - 3(2) = 8 - 6 = 2$. Or, $2$ n'est pas supérieur ou égal à $3$.

Le raisonnement mathématique ici repose sur la compréhension des symboles d'ordre. Rappelons qu'un nombre est solution d'une inéquation si, lorsqu'on remplace l'inconnue par ce nombre, l'inégalité obtenue est mathématiquement exacte.

Analyse de la Question 2 : Interprétation graphique d'une fonction affine

La question 2 porte sur la représentation graphique des fonctions. On nous donne la fonction $f(x) = 2x - 8$. C'est une fonction affine de la forme $f(x) = ax + b$, où :

• $a = 2$ est le coefficient directeur (la pente). Puisque $a > 0$, la droite doit être "montante" (croissante).
• $b = -8$ est l'ordonnée à l'origine. Cela signifie que la droite doit couper l'axe des ordonnées (l'axe vertical $y$) au point de coordonnées $(0, -8)$.

En observant les graphiques fournis : le graphique b représente une fonction décroissante ($a < 0$), il est donc éliminé. Le graphique d montre une droite passant par l'origine ou ayant une ordonnée à l'origine différente. En vérifiant le point d'intersection avec l'axe des abscisses (la racine), on résout $2x - 8 = 0$, soit $x = 4$. La droite doit donc passer par le point $(4, 0)$. Le graphique c correspond parfaitement à ces critères : ordonnée à l'origine à $-8$ et passage par l'abscisse $4$.

Analyse de la Question 3 : Calcul de vitesse et conversion d'unités

La dernière question traite des vitesses, un sujet souvent redouté mais essentiel. Un coureur parcourt 100 m en 10 secondes. Sa vitesse est donc de $v = \frac{d}{t} = \frac{100}{10} = 10$ m/s. L'enjeu ici est la conversion vers des unités plus usuelles comme le km/h ou le km/min.

Pour passer des mètres par seconde (m/s) aux kilomètres par heure (km/h), il existe une méthode simple : multiplier par 3,6. Pourquoi ? Parce qu'il y a 3600 secondes dans une heure et 1000 mètres dans un kilomètre ($\frac{3600}{1000} = 3,6$). Ainsi, $10 \text{ m/s} \times 3,6 = 36 \text{ km/h}$. En examinant les options : la réponse b est immédiatement validée. La proposition a (6 km/min) signifierait une vitesse de 360 km/h, ce qui est impossible pour un coureur humain. La proposition d (10 km/h) est un piège classique pour ceux qui ne convertissent pas les unités.

Les Pièges à éviter le jour du Brevet

Dans ce type de QCM, les concepteurs de sujets placent souvent des "distracteurs". Dans la question 1, le piège est le symbole d'inégalité stricte ($<$ vs $\leqslant$). Pour la question 2, le piège réside dans la confusion entre le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. Enfin, pour la question 3, l'erreur la plus fréquente est de conserver la valeur numérique (10) sans se soucier du changement d'unité (passer de m/s à km/h).

Conseils de rédaction et de méthodologie

Même si aucune justification n'est demandée pour ce QCM, il est fortement conseillé d'utiliser votre brouillon pour effectuer les calculs de vérification. Pour la réponse, recopiez soigneusement le numéro de la question et la lettre choisie. Une présentation claire facilite le travail du correcteur et réduit le risque d'erreur de report. En maîtrisant ces trois piliers (calcul littéral, fonctions, grandeurs et mesures), vous vous assurez une base solide pour obtenir la mention au Brevet des collèges.