Introduction aux Probabilités et aux Jeux de Hasard

Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Elles permettent de modéliser des situations d'incertitude, comme c'est le cas ici avec l'exercice du « Solitaire » de la Française des Jeux issu du sujet Polynésie 2016. Dans cet exercice, nous étudions une expérience aléatoire simple : le tirage d'un ticket au hasard dans un lot de production industrielle. L'objectif est de comprendre comment interpréter un tableau de fréquences et de valeurs pour en déduire des probabilités théoriques et analyser la rentabilité d'un investissement ludique.

Analyse Méthodique de l'Énoncé

L'énoncé nous présente un lot de $\np{750000}$ tickets. C'est notre univers, noté souvent $\Omega$. Chaque ticket prélevé au hasard a la même probabilité d'être choisi : nous sommes donc dans une situation d'équiprobabilité. La formule de base à appliquer est celle de Laplace : $P(E) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$.

Analyse Question 1a : Probabilité d'un gain spécifique de 4 €

Pour répondre à cette question, il faut identifier dans le tableau la ligne correspondant au « Montant du gain » de 4 €. Le tableau nous indique qu'il existe $\np{83000}$ tickets ayant cette valeur. La probabilité $P$ d'obtenir un tel ticket est donc le quotient de ce nombre par le total des tickets : $P = \frac{\np{83000}}{\np{750000}}$.
Pour simplifier cette fraction, on peut diviser par $\np{1000}$, ce qui donne $\frac{83}{750}$. À la calculatrice, cela donne environ 0,11. Il est crucial pour l'élève de bien lire le tableau et de ne pas confondre le gain (4 €) avec le nombre de tickets.

Analyse Question 1b : Probabilité d'obtenir un ticket gagnant

Un ticket est défini comme « gagnant » si son gain est supérieur ou égal à 2 €. Deux méthodes s'offrent à l'élève :
1. Sommer tous les tickets dont le gain est non nul (de 2 € à $\np{15000}$ €).
2. Soustraire le nombre de tickets perdants du total : $\np{750000} - \np{532173} = \np{217827}$.
La probabilité est donc $P(\text{Gagnant}) = \frac{\np{217827}}{\np{750000}}$. En calculant cette valeur, on obtient environ 0,29. Cela signifie qu'un joueur a environ 29 % de chances de ne pas perdre sa mise ou de gagner plus.

Analyse Question 1c : Les gains supérieurs à 150 €

On nous demande d'expliquer pourquoi on a moins de 2 % de chances de gagner plus de 150 €. Les gains concernés sont les catégories $\np{1000}$ € et $\np{15000}$ €. Attention, l'énoncé dit « supérieur à 150 € », ce qui exclut les 150 € eux-mêmes dans une lecture stricte, mais même en les incluant (400 + 15 + 2 = 417 tickets), le calcul montre la rareté de l'événement. Calculons la probabilité pour les gains strictement supérieurs à 150 € : $15 + 2 = 17$ tickets. $P = \frac{17}{\np{750000}} \approx 0,000022$. Si l'on inclut 150 € : $417 / \np{750000} \approx 0,00055$. Dans les deux cas, nous sommes extrêmement loin des 2 % (qui représenteraient $\np{15000}$ tickets). Cela souligne que si le jeu est « gagnant » souvent, les gains importants sont rarissimes.

Analyse Question 2 : Le raisonnement économique de Tom

Tom pense devenir riche en achetant tout le lot. C'est une erreur classique de compréhension de l'espérance de gain.
Coût de l'investissement : $\np{750000} \times 2 \text{ €} = \np{1500000} \text{ €}$.
Pour savoir si Tom a raison, il faut calculer la somme totale des gains redistribués par la FDJ. On multiplie chaque montant par le nombre de tickets :
$(100000 \times 2) + (83000 \times 4) + (20860 \times 6) + (5400 \times 12) + (8150 \times 20) + (400 \times 150) + (15 \times 1000) + (2 \times 15000)$.
Le total des gains est de $\np{1061960} \text{ €}$.
Comparaison : Tom dépense 1,5 million d'euros pour en récupérer environ 1,06 million. Il perdrait donc plus de $\np{438000}$ €. La Française des Jeux, comme tout organisateur de loterie, garde une part importante des mises pour couvrir ses frais et ses bénéfices. Tom a donc tort : c'est mathématiquement une opération déficitaire.

Les Pièges à Éviter

1. **Confusion Effectif / Valeur** : Ne pas diviser 4 par $\np{750000}$, mais bien l'effectif des tickets par le total.
2. **Oubli du coût d'achat** : Dans la question 2, beaucoup d'élèves oublient que pour gagner, il faut d'abord payer les tickets.
3. **Simplification des fractions** : Au Brevet, une fraction non simplifiée n'enlève pas toujours tous les points, mais donner une valeur approchée sans préciser « environ » est risqué.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez toujours la formule de la probabilité en toutes lettres au moins une fois.
- Détaillez vos calculs de sommes pour la question 2, cela prouve votre raisonnement même en cas d'erreur de frappe sur la calculatrice.
- Répondez par une phrase complète en reprenant les termes de la question (« La probabilité que Tom obtienne... est de... »).