Introduction aux notions de fonctions au Brevet

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2022 en Polynésie est un classique incontournable qui balaie l'ensemble du chapitre sur les fonctions. Il mobilise quatre compétences clés : la lecture de tableaux de valeurs, la modélisation d'un programme de calcul, le calcul algébrique d'images et d'antécédents, et enfin, l'interprétation de représentations graphiques. Comprendre le lien entre une expression algébrique, un tableau et une courbe est l'objectif majeur du cycle 4. Cet exercice permet de vérifier si l'élève sait jongler entre ces différents registres de représentation.

Analyse méthodique du tableau de valeurs

La première partie de l'exercice repose sur l'exploitation d'un tableau de valeurs pour la fonction $f$. Il est crucial de ne pas confondre la première ligne ($x$, les antécédents) avec la seconde ligne ($f(x)$, les images).
Pour la question 1.a, on cherche l'image de $3$. Dans le langage des fonctions, cela signifie que l'on connaît $x = 3$ et que l'on cherche la valeur correspondante dans la ligne du bas. En regardant la colonne correspondante, on lit $f(3) = -5$.
Pour la question 1.b, on nous donne l'image ($5$) et on cherche le nombre de départ. On parcourt la ligne $f(x)$ jusqu'à trouver $5$. On remonte alors à la première ligne pour trouver $x = -2$.
Enfin, pour l'antécédent de $1$, le raisonnement est identique : on cherche $1$ dans la ligne des images, ce qui nous renvoie à $x = 0$. La rigueur terminologique est ici la clé du succès.

Du programme de calcul à la fonction $g$

Le programme de calcul proposé est une introduction à la modélisation. On nous demande d'abord de tester des valeurs numériques. Avec $1$ au départ : $1 + 1 = 2$, puis $2^2 = 4$. Avec $-2$ au départ : $-2 + 1 = -1$, puis $(-1)^2 = 1$. Attention ici à la gestion des nombres relatifs : le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
La question 2.b demande d'exprimer $g(x)$ en fonction de $x$. On suit les étapes : $x \to x+1 \to (x+1)^2$. On obtient donc $g(x) = (x+1)^2$. Cette étape est fondamentale car elle transforme une suite d'instructions en un objet mathématique manipulable.

Calculs algébriques et recherche d'antécédents avec la fonction $h$

La fonction $h$ est définie par $h(x) = 2x^2 - 3$. C'est une fonction du second degré. Pour calculer l'image de $3$, on remplace $x$ par $3$ : $h(3) = 2 \times 3^2 - 3 = 2 \times 9 - 3 = 18 - 3 = 15$. Pour l'image de $-4$, la vigilance est de mise avec le carré : $h(-4) = 2 \times (-4)^2 - 3 = 2 \times 16 - 3 = 32 - 3 = 29$.
La question sur l'antécédent de $5$ est plus technique. On doit résoudre l'équation $2x^2 - 3 = 5$. Cela donne $2x^2 = 8$, soit $x^2 = 4$. À ce stade, beaucoup d'élèves oublient qu'il existe deux solutions : $x = 2$ ou $x = -2$. C'est un point de différenciation important pour obtenir la note maximale.

Interprétation graphique et synthèse

La dernière question demande d'associer chaque fonction ($f, g, h$) à sa courbe. C'est l'aboutissement de l'exercice.
1. La fonction $f$ : Le tableau montre que les valeurs de $f(x)$ diminuent de façon régulière (suite arithmétique de raison $-2$). C'est une fonction affine, sa représentation est une droite. C'est donc la Représentation n°1.
2. La fonction $h(x) = 2x^2 - 3$ : Si $x=0$, $h(0) = -3$. La courbe doit passer par le point $(0, -3)$. C'est le cas de la Représentation n°2.
3. La fonction $g(x) = (x+1)^2$ : Cette fonction s'annule pour $x = -1$ (car $(-1+1)^2 = 0$). La courbe doit toucher l'axe des abscisses en $-1$. Cela correspond à la Représentation n°3.
Cette capacité à identifier les caractéristiques d'une fonction (ordonnée à l'origine, racine, forme de la courbe) est une compétence majeure attendue en fin de 3ème.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

Pour réussir ce type d'exercice, évitez les erreurs de signes lors des calculs de carrés. N'oubliez jamais que $(-x)^2$ est identique à $x^2$. Lors de la lecture graphique, soyez précis dans vos justifications en citant des points particuliers (points d'intersection avec les axes). En rédaction, utilisez des phrases types comme 'L'image de... par la fonction... est...' ou 'On cherche $x$ tel que $h(x) = ...$'. Une copie bien structurée et claire garantit non seulement les points de calcul mais aussi les points de soin et de raisonnement.