Introduction aux notions fondamentales du Brevet 2022

L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet de Polynésie 2022 est un exemple parfait de la transversalité attendue en classe de 3ème. Ce problème ne se contente pas d'évaluer une seule compétence ; il demande à l'élève de mobiliser quatre piliers du programme : le Théorème de Pythagore pour le calcul de longueurs dans un triangle rectangle, la Trigonométrie pour la mesure d'angles, le Théorème de Thalès pour l'analyse de configurations imbriquées, et enfin la gestion des grandeurs composées (vitesses). Comprendre cet exercice, c'est s'assurer de maîtriser une grande partie de la géométrie plane et du calcul numérique nécessaires pour l'épreuve finale.

Analyse du Schéma 1 : L'application du Théorème de Pythagore

La première partie de l'exercice nous place dans un triangle ABC, où [BC] représente un poteau électrique vertical et [AB] la distance au sol. L'énoncé précise que le poteau est vertical, ce qui est l'indice clé pour affirmer que le triangle ABC est rectangle en B. Dans tout triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Pour montrer que le câble [AC] mesure $6,5$ m, nous utilisons la formule : $AC^2 = AB^2 + BC^2$.

En remplaçant par les valeurs numériques : $AC^2 = 3,9^2 + 5,2^2 = 15,21 + 27,04 = 42,25$. La racine carrée de $42,25$ est bien $6,5$. Il est crucial pour l'élève de bien rédiger cette étape en citant nommément le théorème et en vérifiant les unités (ici le mètre).

Maîtrise de la Trigonométrie : Calculer l'angle d'inclinaison

La question 2 demande de calculer l'angle $\widehat{\text{ACB}}$. Dans le triangle ABC rectangle en B, nous connaissons désormais les trois côtés. L'élève a donc le choix entre le sinus, le cosinus et la tangente. Utiliser la tangente ($\\tan(\widehat{\text{ACB}}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{AB}{BC}$) est souvent préférable pour utiliser les données initiales de l'énoncé ($3,9$ et $5,2$).

On obtient $\\tan(\widehat{\text{ACB}}) = 3,9 / 5,2 = 0,75$. À l'aide de la calculatrice (touche Arctan ou $tan^{-1}$), on trouve un angle d'environ $37°$. L'arrondi au degré près est une consigne récurrente au Brevet qu'il ne faut jamais négliger sous peine de perdre des points précieux.

Cinématique : Vitesse, Distance et Temps pour la première araignée

La troisième question introduit la notion de vitesse constante. La formule de base $v = \frac{d}{t}$ (vitesse = distance / temps) doit être connue par cœur. Ici, on nous donne la distance (le câble [AC] de $6,5$ m) et la vitesse ($0,2$ m/s). On cherche le temps $t = \frac{d}{v}$.

Le calcul $6,5 / 0,2$ donne $32,5$. L'élève doit conclure par une phrase claire : « Il faut bien 32,5 secondes à la première araignée pour parcourir le câble. » Ce type de question de vérification permet à l'élève de s'auto-évaluer pendant l'examen.

Analyse du Schéma 2 : L'utilisation stratégique du Théorème de Thalès

La question 4 est la plus technique. On nous présente une nouvelle configuration avec des points F et H. Comme le poteau [BC] est vertical et que le fil de l'araignée [FH] est également vertical, on en déduit que les droites (FH) et (BC) sont parallèles. C'est la condition nécessaire pour appliquer le théorème de Thalès dans le triangle ABC avec les points F sur [AC] et H sur [AB].

On connaît la longueur totale du câble $AC = 6,5$ m et la longueur du segment parcouru par la deuxième araignée $CF = 4$ m. Par soustraction, la longueur $AF$ est de $6,5 - 4 = 2,5$ m. Les rapports de Thalès s'écrivent : $\frac{AF}{AC} = \frac{AH}{AB} = \frac{FH}{BC}$. En remplaçant par les valeurs : $\frac{2,5}{6,5} = \frac{AH}{3,9} = \frac{FH}{5,2}$.

Pour calculer FH : $FH = \frac{5,2 \times 2,5}{6,5} = 2$ m. Pour calculer AH : $AH = \frac{3,9 \times 2,5}{6,5} = 1,5$ m. Ces calculs demandent de la rigueur dans l'application de la règle de trois (produit en croix).

Comparaison des performances : Quelle araignée gagne la course ?

Pour la question finale, il faut calculer le temps total de la deuxième araignée. Son trajet est décomposé en trois étapes :
1. Le segment [CF] ($4$ m) à $0,2$ m/s : $t_1 = 4 / 0,2 = 20$ s.
2. Le segment [FH] ($2$ m) à une vitesse plus rapide de $0,8$ m/s : $t_2 = 2 / 0,8 = 2,5$ s.
3. Le segment [HA] ($1,5$ m) à $0,2$ m/s : $t_3 = 1,5 / 0,2 = 7,5$ s.

Le temps total est la somme $20 + 2,5 + 7,5 = 30$ secondes. En comparant avec les $32,5$ secondes de la première araignée, on conclut que la deuxième araignée est la plus rapide. Cet exercice souligne l'importance de ne pas seulement regarder la distance (le trajet 2 est plus long que le trajet 1 en termes de segments) mais de prendre en compte les variations de vitesse.

Conseils de rédaction et pièges à éviter

Pour briller au Brevet, la rédaction est aussi importante que le résultat. N'oubliez jamais d'énoncer les conditions d'application des théorèmes : « Dans le triangle ABC rectangle en B... » pour Pythagore, ou « Les droites (BC) et (FH) sont perpendiculaires à la même droite (AB), donc elles sont parallèles... » pour Thalès. Vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : une hypoténuse doit toujours être le côté le plus long, et une vitesse plus élevée doit réduire le temps de trajet.