Introduction aux notions de géométrie du Brevet 2020

L'exercice 3 du sujet de Brevet de mathématiques de Polynésie 2020 est un excellent support pour réviser les fondamentaux de la géométrie de troisième. Il combine habilement l'utilisation du théorème de Pythagore, le calcul d'aires de figures complexes, l'identification de transformations du plan et les propriétés des agrandissements-réductions. Ce type d'exercice est récurrent car il permet d'évaluer la polyvalence de l'élève sur le programme du cycle 4.

Analyse de la Partie 1 : Trigonométrie, Pythagore et Aires

La première partie repose sur l'étude d'un motif composé d'un carré $ABCE$ de $5$ cm de côté et d'un triangle $EDC$ rectangle et isocèle en $D$. La première question demande de déterminer les angles $\widehat{DEC}$ et $\widehat{DCE}$. Puisque le triangle est rectangle en $D$, la somme des angles aigus est de $90^{\circ}$. Comme il est isocèle, ces deux angles sont égaux, soit $45^{\circ}$ chacun. C'est une propriété fondamentale des triangles rectangles isocèles.

Pour la question 2, l'élève doit utiliser le théorème de Pythagore dans le triangle $EDC$. Notons $DE = x$. Puisque le triangle est isocèle en $D$, nous avons $DE = DC = x$. L'hypoténuse $[EC]$ correspond au côté du carré, soit $5$ cm. L'égalité de Pythagore nous donne $x^2 + x^2 = 5^2$, soit $2x^2 = 25$, donc $x^2 = 12,5$. En calculant $\sqrt{12,5}$, on trouve environ $3,535$, ce qui justifie la valeur de $3,5$ cm au dixième près.

Le calcul de l'aire totale (question 3) nécessite de sommer l'aire du carré ($côté \times côté = 5 \times 5 = 25$ cm²) et l'aire du triangle rectangle ($base \times hauteur / 2 = 3,5 \times 3,5 / 2 \approx 6,125$ cm²). L'aire totale est donc d'environ $31,125$ cm², arrondie à $31$ cm² selon l'énoncé. La précision dans les arrondis est cruciale pour obtenir tous les points.

Analyse de la Partie 2 : Le pavage et les transformations du plan

Cette section évalue la capacité à identifier visuellement et géométriquement les transformations. Il est important de bien observer les points de repère sur le schéma.

• Du motif 1 au motif 2 : On observe un glissement horizontal. C'est une translation. On peut préciser qu'elle transforme le point $B$ en $G$ ou utiliser le vecteur de translation.
• Du motif 1 au motif 3 : Le motif subit un demi-tour autour d'un point central. Il s'agit d'une symétrie centrale de centre $C$ (ou une rotation de $180^{\circ}$).
• Du motif 1 au motif 4 : C'est à nouveau une translation, mais cette fois-ci vers le bas et la droite.
• Du motif 2 au motif 3 : On remarque un basculement. C'est une symétrie axiale par rapport à la droite $(GI)$.

Pour réussir cette partie, l'élève doit impérativement utiliser le vocabulaire précis : translation, rotation, symétrie axiale ou centrale. Une réponse vague comme 'déplacement' ne sera pas acceptée.

Analyse de la Partie 3 : Agrandissement et coefficient d'aire

La dernière partie traite d'un agrandissement de rapport $k = \frac{3}{2}$ (soit $1,5$). Pour la construction, toutes les longueurs doivent être multipliées par $1,5$. Par exemple, le côté du carré passe de $5$ cm à $7,5$ cm.

La question la plus importante concerne l'aire. Il existe une règle d'or en géométrie : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$. Ici, le coefficient multiplicateur pour l'aire est $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$, soit $2,25$. C'est une erreur classique de multiplier l'aire simplement par le rapport d'agrandissement $1,5$. L'élève doit démontrer sa connaissance de la propriété des rapports de puissances.

Pièges à éviter et conseils de rédaction

1. Les unités : N'oubliez jamais d'ajouter 'cm' pour les longueurs et 'cm²' pour les aires dans vos conclusions. 2. Justification de Pythagore : Précisez toujours que le triangle est rectangle pour avoir le droit d'utiliser le théorème. 3. Précision des tracés : Pour la construction, utilisez un compas et une équerre pour garantir l'orthogonalité du carré et du triangle. 4. Vocabulaire des transformations : Donnez toujours les éléments caractéristiques (centre pour une symétrie centrale, axe pour une symétrie axiale, vecteur/direction pour une translation). En suivant cette méthodologie, vous maximisez vos chances d'obtenir la note maximale sur cet exercice de géométrie polyvalent.