Introduction aux notions clés du Brevet

Cet exercice issu du Brevet de Mathématiques de Nouvelle-Calédonie 2020 est un modèle de transversalité. Il combine trois piliers du programme de 3ème : les volumes de solides complexes, le calcul littéral et l'étude de fonctions. L'objectif pédagogique est double : vérifier la capacité de l'élève à passer d'une situation géométrique concrète (la construction d'une habitation) à une modélisation mathématique abstraite (fonctions linéaires et lecture graphique).

Analyse de la Partie 1 : Géométrie et Volumes

La première partie se concentre sur la géométrie dans l'espace. Ici, le candidat doit manipuler deux solides de révolution : le cylindre et le cône. L'énoncé fixe le diamètre $x$ à $6$ m. La première erreur à éviter est la confusion entre diamètre et rayon. Le rayon $r$ est la moitié du diamètre, soit $r = 3$ m.

1. Calcul du volume du cylindre

La formule du volume d'un cylindre est $V = \pi \times r^2 \times h$. Avec $r = 3$ et $h = 2$, on obtient $V = \pi \times 3^2 \times 2 = \pi \times 9 \times 2 = 18\pi$ m³. L'énoncé demande la valeur exacte, il faut donc conserver le symbole $\pi$. C'est une compétence de calcul littéral fondamentale à ce niveau.

2. Calcul du volume du cône

Pour le cône, la formule est $V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h$. Ici, la hauteur est de $1$ m. On calcule : $V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 1 = \frac{1}{3} \times 9\pi = 3\pi$ m³. En prenant une approximation de $\pi \approx 3,14$, on trouve environ $9,42$ m³, ce qui s'arrondit à $9$ m³ à l'unité.

3. Volume total de la case

Le volume total est la somme des deux : $18\pi + 3\pi = 21\pi$. En effectuant $21 \times \pi$, on obtient environ $65,97$ m³, soit $66$ m³ après arrondi. Cette question vérifie la capacité à synthétiser des résultats partiels.

Analyse de la Partie 2 : Fonctions et Comparaison

La seconde partie bascule vers l'analyse de fonctions. On ne considère plus $x$ comme une valeur fixe, mais comme une variable. La fonction $V(x) = 12,5x$ modélise le volume de la maison (prisme droit).

1. Lecture graphique et interprétation

L'élève doit savoir extraire des informations d'une courbe. Pour $x = 7$ m, on cherche l'abscisse $7$, on monte verticalement jusqu'à la courbe rouge (la case), puis on lit l'ordonnée correspondante. C'est un exercice de précision graphique où les pointillés sont obligatoires pour justifier la démarche auprès du correcteur.

2. Étude de la fonction linéaire $V(x) = 12,5x$

La fonction $V(x) = 12,5x$ est une fonction linéaire car elle est de la forme $f(x) = ax$. Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine $(0;0)$. Pour calculer l'image de $8$, on effectue $12,5 \times 8 = 100$. Cela signifie qu'une maison de diamètre $8$ m a un volume de $100$ m³.

3. Représentation et stratégie de choix

Pour tracer la droite, l'élève possède déjà deux points : $(0,0)$ et $(8, 100)$. Il suffit de les relier à la règle. La question finale demande de choisir la construction offrant le plus grand volume pour $x = 6$ m. On compare alors le volume de la case (calculé en partie 1 : $66$ m³) et celui de la maison : $V(6) = 12,5 \times 6 = 75$ m³. La maison est donc le choix optimal.

Les pièges à éviter et conseils de rédaction

Attention aux unités ! Dans tout l'exercice, les longueurs sont en mètres et les volumes en m³. Ne pas les préciser peut coûter des points. La précision du tracé : Pour la représentation graphique de la fonction linéaire, utilisez un crayon bien taillé. La droite doit passer exactement par l'origine et le point calculé. Le raisonnement : Ne donnez jamais un résultat brut. Écrivez toujours la formule utilisée avant de passer à l'application numérique. Pour la question de la nature de la fonction, le mot 'linéaire' est le mot-clé attendu par les correcteurs.