Introduction : L'importance des programmes de calcul au Brevet

Les programmes de calcul constituent un pilier incontournable de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Cet exercice issu de la session 2020 pour la zone Métropole illustre parfaitement la transition entre l'arithmétique simple et le calcul littéral. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un langage naturel (une suite d'instructions) à un langage symbolique (une expression algébrique). Nous allons aborder ici trois notions clés : la manipulation de nombres relatifs, le développement d'expressions et la résolution d'équations du second degré simples.

Analyse Méthodique : Du test numérique à la généralisation

L'exercice commence par une phase d'appropriation. Pour la question 1, il s'agit d'appliquer les instructions pas à pas avec la valeur 2. Voici le détail : $\bullet$ Choisir 2 ; $\bullet$ Ajouter 7 donne $2 + 7 = 9$ ; $\bullet$ Soustraire 7 au nombre de départ donne $2 - 7 = -5$ ; $\bullet$ Multiplier les deux résultats donne $9 \times (-5) = -45$ ; $\bullet$ Ajouter 50 donne $-45 + 50 = 5$. Le résultat est bien validé. Cette étape est cruciale car elle permet de s'assurer que le fonctionnement du programme est compris avant d'aborder l'abstraction.

La question 2 reproduit ce schéma avec un nombre négatif : $-10$. C'est ici que les erreurs de signes sont fréquentes. $\bullet$ $-10 + 7 = -3$ ; $\bullet$ $-10 - 7 = -17$ ; $\bullet$ $(-3) \times (-17) = 51$ (rappelons que le produit de deux nombres négatifs est positif) ; $\bullet$ $51 + 50 = 101$. Un élève qui maîtrise les priorités opératoires et la règle des signes sécurisera ces premiers points facilement.

Le raisonnement scientifique et le contre-exemple

Dans la question 3, l'élève est confronté à une conjecture. Un élève pense que le programme revient à calculer $2x + 1$. Pour $x=2$, on obtient $2 \times 2 + 1 = 5$, ce qui correspond au résultat de la question 1. Cependant, la validité d'une propriété en mathématiques ne peut se prouver sur un seul exemple. En utilisant le résultat de la question 2 (pour $x=-10$), on voit que $2 \times (-10) + 1 = -19$, alors que le programme donne $101$. Puisque $-19 \neq 101$, l'affirmation est fausse. C'est une leçon fondamentale : un seul contre-exemple suffit à invalider une conjecture.

La démonstration par le calcul littéral

La question 4 demande de modéliser le programme par une expression $x$. Si le nombre de départ est $x$, les étapes deviennent : $\bullet$ $(x + 7)$ ; $\bullet$ $(x - 7)$ ; $\bullet$ Leur produit : $(x + 7)(x - 7)$ ; $\bullet$ Résultat final : $(x + 7)(x - 7) + 50$. Ici, l'élève doit reconnaître l'identité remarquable du type $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. Ainsi, $(x+7)(x-7) = x^2 - 49$. En ajoutant 50, on obtient $x^2 - 49 + 50 = x^2 + 1$. La démonstration est ainsi rigoureusement établie.

Résoudre une équation : Le chemin inverse

Enfin, la question 5 demande de trouver $x$ tel que le résultat soit 17. On pose l'équation $x^2 + 1 = 17$, ce qui revient à $x^2 = 16$. Attention au piège classique ! Beaucoup d'élèves ne trouvent que la solution positive 4. Or, l'équation $x^2 = a$ (avec $a > 0$) possède toujours deux solutions : $\sqrt{a}$ et $-\sqrt{a}$. Ici, les nombres de départ possibles sont donc $4$ et $-4$.

Les Pièges à éviter

1. La règle des signes : Lors de la soustraction de 7 à un nombre déjà négatif ($-10 - 7$), veillez à ne pas confondre avec une multiplication. Le résultat est $-17$, pas $-3$.
2. Les parenthèses : Lors du passage au calcul littéral, les parenthèses sont obligatoires pour multiplier les blocs $(x+7)$ et $(x-7)$.
3. L'oubli de la solution négative : Dans l'étape finale $x^2 = 16$, n'oubliez pas que $(-4)^2$ donne aussi 16.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, détaillez chaque étape de calcul. Ne donnez pas seulement le résultat final. Utilisez des connecteurs logiques comme 'On en déduit que', 'D'après l'identité remarquable' ou 'Soit $x$ le nombre choisi'. Une présentation claire avec des résultats encadrés séduira toujours le correcteur.