Présentation du sujet DNB 2014 - Polynésie

Le sujet de Mathématiques du Brevet des Collèges 2014 en Polynésie est un excellent exemple de l'approche interdisciplinaire du DNB, intégrant la géométrie classique, les probabilités, l'algèbre et l'utilisation du tableur dans des contextes concrets. Composé de sept exercices indépendants, il teste une large palette de compétences fondamentales, allant de l'arithmétique pure à la résolution de problèmes complexes impliquant des volumes et des durées. La difficulté est bien équilibrée, avec des exercices d'application directe (Pythagore, Probabilités) et des exercices nécessitant une forte capacité d'analyse (Problème de la piscine, Fonctions via tableur).

Analyse détaillée par exercice

• Exercice 1 : Probabilités (4 points)

  Cet exercice est une application directe des principes de la probabilité. Il nécessite la lecture d'un tableau à double entrée pour déterminer l'univers des possibles (nombre total de boules) et les événements favorables (boule bleue A, boule rouge). La dernière question demande de comparer des probabilités, renforçant l'importance du calcul de fractions simples.

• Exercice 2 : Géométrie plane (Thalès et Pythagore) (4 points)

  Un exercice de géométrie classique basé sur un schéma d'étayage. La première question mobilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABE pour calculer la longueur de l'hypoténuse BE. La seconde question utilise la réciproque ou la conséquence du théorème de Thalès, en vérifiant que les barres [CD] et [AE] sont parallèles pour déterminer la position exacte du point C. C'est un test essentiel sur les deux théorèmes fondamentaux de la géométrie au collège.

• Exercice 3 : Fonctions, Calcul littéral et Tableur (6 points)

  Cet exercice est centré sur l'étude de trois fonctions : une quadratique ($f$), une linéaire ($g$), et une affine ($h$). L'utilisation du tableur permet de croiser les approches : calcul de l'image d'un nombre, vérification algébrique ($f(6)=47$), et résolution graphique ou par lecture de l'équation $f(x)=g(x)$. La question la plus exigeante est la détermination de l'expression algébrique de la fonction affine $h(x)$ à partir des points donnés dans le tableau, nécessitant de retrouver le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine.

• Exercice 4 : Arithmétique, Puissances et Vrai/Faux (4 points)

  Un exercice court mais technique demandant des justifications claires. L'affirmation 1 porte sur les diviseurs communs (DCM ou PGCD), vérifiant si les diviseurs communs à 12 et 18 sont bien ceux de leur PGCD (qui est 6). L'affirmation 2 teste la compréhension des puissances de racines carrées, notamment le fait que $(\sqrt{2})^n$ est un entier si $n$ est pair.

• Exercice 5 : Tableur et Grandeurs composées (4 points)

  Cet exercice évalue la capacité à manipuler et interpréter une feuille de calcul. Il demande de retrouver la formule de calcul d'une dépense (produit du nombre d'appareils, consommation et prix) et d'identifier la formule de sommation correcte pour le total. La dernière question nécessite de calculer des pourcentages ou des proportions (comparaison de la consommation d'un ordinateur par rapport au total de la pièce), liant le tableur aux statistiques et à la proportionnalité.

• Exercice 6 : Aires, Volumes, Durées et Prise d'initiatives (8 points)

  Ce problème complet est la pièce maîtresse du sujet. Il requiert : 1) Le calcul de l'aire des piscines (ronde : $\pi R^2$; octogonale : formule fournie $A_{ ext{octogone}} = 2\sqrt{2} R^2$) pour vérifier la législation (surface $< 10$ m²). 2) La comparaison de l'aire au sol avec la surface minimale conseillée par baigneur (Statistiques/Aires). 3) Le calcul du volume de la piscine octogonale ($V = A imes H$) et, surtout, le calcul de la durée de remplissage en utilisant un débit (Grandeurs composées et Durées). La conversion des unités de temps et de volume (litres/min à m³/h) est implicitement requise, rendant l'exercice très complet.

• Exercice 7 : Géométrie plane (Angles des triangles) (6 points)

  Un exercice axé sur les propriétés des triangles isocèles et les angles. Il demande la construction précise et le calcul des angles intérieurs et extérieurs, puis une vérification générale : la somme des angles extérieurs d'un polygone convexe est toujours $360^\circ$. C'est une belle conclusion géométrique pour tester la rigueur du raisonnement.

Conseils de révision pour le Brevet

Ce sujet de Polynésie 2014 souligne l'importance de ne négliger aucune partie du programme. Les élèves doivent maîtriser parfaitement le triplet Géométrie (Pythagore, Thalès, Angles), les bases des Probabilités, et être à l'aise avec la manipulation algébrique des Fonctions, y compris leur représentation via le Tableur. Une attention particulière doit être portée aux exercices de « Prise d'initiatives » comme le problème de la piscine, qui exigent d'organiser plusieurs étapes de calcul (aires, volumes, débits) pour parvenir à la solution finale. Travailler sur les annales DNB similaires est la clé pour s'assurer une excellente note le jour de l'examen.