Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

L'exercice 1 du sujet de Polynésie 2020 est un modèle du genre pour tout élève de troisième souhaitant évaluer son niveau avant l'examen final. Cet exercice pluridisciplinaire balaie un spectre très large du programme officiel : du calcul littéral à la géométrie de Thalès, en passant par l'arithmétique et les statistiques. Sa particularité réside dans l'indépendance de ses questions, ce qui permet de glaner des points même si l'on rencontre une difficulté sur un thème spécifique.

Analyse Question par Question : Méthodologie et Raisonnement

1. Le programme de calcul et les nombres relatifs

Le premier défi concerne l'application d'un programme de calcul simple mais piégeux à cause des nombres négatifs. On nous demande de partir de $-7$. Le programme dicte : 1. Choisir le nombre ; 2. Ajouter 2 ; 3. Élever au carré. La rigueur mathématique est ici essentielle. Si l'on écrit $-7 + 2$, on obtient $-5$. L'étape cruciale est l'élévation au carré. Rappelons la règle des signes : le carré d'un nombre négatif est toujours positif. Ainsi, $(-5)^2$ équivaut à $(-5) \times (-5) = 25$. L'erreur classique serait d'écrire $-25$.

2. Développement et réduction : La double distributivité

La deuxième question teste votre maîtrise du calcul littéral avec l'expression $(2x - 3)(4x + 1)$. Pour développer, nous utilisons la double distributivité : $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$. En appliquant scrupuleusement :

• $2x \times 4x = 8x^2$
• $2x \times 1 = 2x$
• $-3 \times 4x = -12x$
• $-3 \times 1 = -3$

3. Géométrie : Le Théorème de Thalès en configuration 'Papillon'

La figure présentée montre des droites $(AB)$ et $(DE)$ parallèles se coupant en $C$. C'est la configuration typique de Thalès dite en 'sablier' ou 'papillon'. Pour calculer la longueur $CB$, il faut d'abord énoncer les conditions d'application : les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont sécantes en $C$, et les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles. D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $CA/CD = CB/CE = AB/DE$. En remplaçant par les valeurs connues ($CD = 1,5$, $CE = 1$, $CA = 3,5$), on obtient $3,5 / 1,5 = CB / 1$. Par un simple produit en croix, $CB = (3,5 \times 1) / 1,5$. Le calcul donne environ $2,33$ cm (ou $7/3$ en valeur exacte).

4. Gestion des pourcentages : La baisse de prix

Le calcul commercial est un incontournable. Un article de $22$ € baisse de $15 \%$. Deux méthodes s'offrent à vous. La première consiste à calculer le montant de la réduction : $22 \times 0,15 = 3,3$ €, puis à le soustraire du prix initial : $22 - 3,3 = 18,7$ €. La seconde méthode, plus rapide pour le lycée, utilise le coefficient multiplicateur : une baisse de $15 \%$ revient à multiplier par $(1 - 0,15) = 0,85$. Ainsi, $22 \times 0,85 = 18,7$ €.

5. Statistiques : Médiane et Étendue

L'analyse des salaires demande de comprendre la structure d'une série statistique. L'étendue est la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale : $3500 - 1300 = 2200$ €. Pour la médiane, il faut d'abord calculer l'effectif total : $11 + 6 + 5 + 3 + 3 + 1 + 1 = 30$. La série ayant un effectif pair, la médiane se situe entre la 15ème et la 16ème valeur. En regardant les effectifs cumulés, la 15ème valeur est $1400$ (car $11+6=17$). Le salaire médian est donc de $1400$ €. Cela signifie que la moitié des employés gagne moins de $1400$ € et l'autre moitié plus.

6. Arithmétique : Décomposition en facteurs premiers

Pour trouver le plus grand nombre premier divisant $41895$, on utilise les critères de divisibilité. Le nombre se termine par 5, il est donc divisible par 5 : $41895 = 5 \times 8379$. Ensuite, la somme des chiffres de $8379$ ($8+3+7+9=27$) est dans la table de 9, donc divisible par 3 et 9. $8379 / 3 = 2793$, puis $2793 / 3 = 931$. On teste ensuite les nombres premiers suivants : 7, 11, 13... $931 / 7 = 133$ et $133 / 7 = 19$. Les facteurs premiers sont 5, 3, 7 et 19. Le plus grand est donc $19$.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Au Brevet, la rédaction compte pour une part importante de la note. Pour la question sur Thalès, ne vous contentez pas du calcul ; nommez les droites parallèles et sécantes. Pour les statistiques, n'oubliez pas de justifier la position de la médiane par le calcul de l'effectif total. En calcul littéral, faites attention aux signes 'moins' devant les parenthèses, qui sont les sources d'erreurs les plus fréquentes. Enfin, vérifiez toujours la cohérence de vos résultats : un prix après réduction doit être inférieur au prix de départ, et une longueur dans un triangle ne peut pas être négative !