Introduction aux Fonctions et au Tableur au Brevet

L'exercice 7 du Brevet de Nouvelle-Calédonie 2014 est un classique incontournable pour les élèves de 3ème. Il combine trois compétences piliers du programme de mathématiques : la manipulation des fonctions (linéaires et affines), l'utilisation d'un tableur et la résolution d'équations. Comprendre le lien entre une expression algébrique, un tableau de valeurs et une représentation graphique est essentiel pour décrocher une mention.

Analyse Méthodique : Question par Question

L'exercice commence par l'analyse d'un tableur présentant deux fonctions : $f(x) = 2x$ et $g(x) = - 2x + 8$.

1. Identification de la fonction dans le tableur

La question demande quelle fonction correspond à la formule =2*B1 saisie en cellule B2. Pour répondre, il faut comprendre que le tableur utilise les coordonnées des cellules. La cellule B1 contient la valeur de $x$ (ici 0). La formule multiplie donc la valeur de $x$ par 2. On reconnaît immédiatement l'expression de la fonction linéaire $f(x) = 2x$. En vérifiant avec les autres colonnes : pour $x=1$ (cellule C1), $2 \times 1 = 2$ (cellule C2), ce qui confirme notre analyse.

2. Déterminer la formule de la cellule B5

En observant la ligne 5 du tableau, on remarque que pour $x=0$ (B4), l'image est 8. Pour $x=4$ (F4), l'image est 0. Ces valeurs correspondent à la fonction $g(x) = -2x + 8$. Pour traduire cela en langage tableur dans la cellule B5, il faut se référer à la cellule contenant la valeur de $x$ correspondante, c'est-à-dire B4. La formule est donc : =-2*B4+8. N'oubliez jamais le signe `=` au début d'une formule tableur !

3. Analyse de la représentation graphique

Le repère affiche une droite passant par l'origine du repère $O(0;0)$. Par définition, une fonction dont la représentation graphique est une droite passant par l'origine est une fonction linéaire. Ici, c'est donc la fonction $f$ car $f(0) = 2 \times 0 = 0$. On peut aussi vérifier le coefficient directeur : en avançant de 1 unité en abscisse, on monte de 2 unités en ordonnée.

4. Tracer la deuxième fonction

Pour tracer $g(x) = -2x + 8$, il faut identifier deux points. Nous les avons déjà dans le tableau de la ligne 4 et 5 : le point $A(0;8)$ et le point $B(4;0)$. Il suffit de placer ces deux points dans le repère et de tracer la droite qui les relie à la règle. C'est une fonction affine décroissante car son coefficient directeur $-2$ est négatif.

5. Résolution de l'équation $2x = - 2x + 8$

Cette équation revient à chercher pour quelle valeur de $x$ les deux fonctions ont la même image, soit le point d'intersection des deux droites.
Isolons les termes en $x$ :
$2x + 2x = 8$
$4x = 8$
$x = 8 / 4 = 2$.
La solution est $x=2$. Graphiquement, on observe bien que les deux droites se coupent au point de coordonnées $(2 ; 4)$.

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion entre les lignes du tableur ! Dans cet exercice, les deux tableaux sont séparés par une ligne vide (ligne 3). Il faut être vigilant sur les références de cellules : pour $f(x)$, on utilise la ligne 1, mais pour $g(x)$, on utilise la ligne 4. Une erreur classique serait d'écrire =-2*B1+8 au lieu de =-2*B4+8.
Un autre piège concerne le tracé : utilisez toujours un crayon bien taillé et vérifiez au moins trois points pour être certain de votre droite.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, justifiez vos réponses de manière structurée. Pour la question 1, écrivez : "La formule =2*B1 signifie que l'on multiplie l'antécédent situé en B1 par 2, ce qui correspond à $f(x) = 2x$." Pour l'équation, détaillez chaque étape du calcul comme montré ci-dessus. Une réponse brute sans calcul intermédiaire peut être pénalisée.