Introduction aux notions de Trigonométrie et Géométrie

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2014 pour la zone Métropole, est une application concrète de la géométrie plane dans un contexte réel : l'éclairage public. Il mobilise des compétences fondamentales du cycle 4, notamment la trigonométrie dans le triangle rectangle. Bien que les tags imposés mentionnent Pythagore, l'exercice se concentre principalement sur l'utilisation de la tangente pour déterminer des longueurs et des mesures d'angles. La maîtrise de ces outils est indispensable pour aborder sereinement l'épreuve de mathématiques, car ils permettent de modéliser des situations physiques (ombres, lumière, pentes).

Analyse détaillée de la Question 1 : Calcul de la longueur PL

Dans cette première question, on nous demande de justifier que la longueur $PL$ est d'environ $3,4$ m. Pour ce faire, nous devons identifier le triangle rectangle approprié. D'après l'énoncé et le codage de la figure, le triangle $HPL$ est rectangle en $P$. Pourquoi est-ce crucial ? Parce que les rapports trigonométriques ($cos$, $sin$, $tan$) ne sont applicables que dans des triangles rectangles.

Nous connaissons l'angle $\widehat{PHL} = 40^\circ$ et le côté adjacent $HP = 4$ m. Nous cherchons le côté opposé $PL$. La formule de la tangente est ici la plus adaptée : $\tan(\text{angle}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$. En appliquant cette formule au triangle $HPL$, nous obtenons :
$\tan(\widehat{PHL}) = \frac{PL}{HP}$
$\tan(40^\circ) = \frac{PL}{4}$
$PL = 4 \times \tan(40^\circ)$.

À l'aide de la calculatrice (en mode Degré), nous trouvons $PL \approx 3,35639...$ m. L'énoncé demande un arrondi au décimètre (un chiffre après la virgule). Comme le chiffre des centièmes est un 5, on arrondit au supérieur : $PL \approx 3,4$ m. Cette étape valide la donnée de l'énoncé et pose les bases du raisonnement géométrique.

Analyse de la Question 2 : Détermination de la zone d'ombre LM

La question 2 demande de calculer la longueur $LM$, qui représente la zone éclairée simultanément par le lampadaire et le spot. Pour résoudre ce problème, il faut d'abord calculer la distance $MC$ dans le triangle $MFC$, rectangle en $C$.

Dans le triangle $MFC$ :
$\tan(\widehat{MFC}) = \frac{MC}{CF}$
$\tan(33^\circ) = \frac{MC}{5}$
$MC = 5 \times \tan(33^\circ) \approx 3,247...$ m.

Maintenant, analysons la position des points sur le segment au sol $PC$. Nous savons que $PC = 5,5$ m. Nous avons calculé $PL \approx 3,4$ m. Nous pouvons en déduire la longueur $LC$ :
$LC = PC - PL = 5,5 - 3,4 = 2,1$ m.
La zone commune $LM$ est la portion du segment $MC$ qui dépasse le point $L$. Mathématiquement, $LM = MC - LC$.
$LM \approx 3,247 - 2,1 = 1,147$ m.
En arrondissant au décimètre, nous obtenons $LM \approx 1,1$ m. Ce résultat montre l'importance de la décomposition des segments sur une droite pour résoudre un problème de superposition de longueurs.

Analyse de la Question 3 : Réglage de l'angle du spot

Ici, on change la configuration : le spot est réglé pour que $M$ et $L$ soient confondus. Cela signifie que le nouveau point $M$ se situe exactement à la position du point $L$ calculé précédemment. Par conséquent, la distance $MC$ devient égale à la distance $LC$, soit $MC = 2,1$ m.

Nous devons trouver la mesure de l'angle $\widehat{CFM}$. Toujours dans le triangle $MFC$ rectangle en $C$, nous connaissons désormais le côté opposé $MC = 2,1$ m et le côté adjacent $CF = 5$ m.
$\tan(\widehat{CFM}) = \frac{MC}{CF} = \frac{2,1}{5} = 0,42$.
Pour trouver l'angle, on utilise la fonction réciproque $\arctan$ (ou $\tan^{-1}$) sur la calculatrice :
$\widehat{CFM} = \arctan(0.42) \approx 22,78^\circ$.
L'arrondi au degré près donne $\widehat{CFM} \approx 23^\circ$.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

1. Le mode de la calculatrice : C'est l'erreur la plus fréquente. Assurez-vous que votre calculatrice affiche 'D' ou 'DEG'. Si elle est en 'RAD' (radians) ou 'GRAD' (grades), tous vos calculs de trigonométrie seront faux.
2. La précision des arrondis : Ne donnez pas trop de chiffres après la virgule si ce n'est pas demandé, mais n'arrondissez pas trop tôt dans vos calculs intermédiaires. Gardez les valeurs exactes (comme $4 \times \tan(40)$) jusqu'à la fin.
3. La confusion entre Sin, Cos et Tan : Utilisez le moyen mnémotechnique SOH-CAH-TOA. Pour cet exercice, nous n'avions jamais l'hypoténuse, la tangente (TOA : Tangente = Opposé / Adjacent) était donc l'unique outil pertinent.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour chaque question, suivez cette structure :
1. Citer le triangle et sa nature : "Dans le triangle HPL rectangle en P..."
2. Énoncer la formule utilisée : "D'après la trigonométrie, on a tan..."
3. Calculer avec les valeurs numériques : Montrez votre produit en croix.
4. Conclure avec l'unité et l'arrondi : "La longueur PL est d'environ 3,4 m."
Une rédaction propre et structurée rassure le correcteur et garantit l'obtention de l'intégralité des points, même en cas d'erreur de calcul mineure.