Introduction aux Fonctions au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Zone Étrangers), porte sur une notion fondamentale du programme de 3ème : les fonctions. À travers un exemple concret de la vie courante — la conversion entre les degrés Celsius ($^\circ$C) et les degrés Fahrenheit ($^\circ$F) — il permet d'aborder la modélisation mathématique, la distinction entre image et antécédent, et la reconnaissance d'une fonction affine.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé nous propose un algorithme de calcul simple : pour passer de Celsius à Fahrenheit, on multiplie par $1,8$ et on ajoute $32$. Ce processus définit une relation de dépendance entre deux variables, ce qui est l'essence même d'une fonction.

Question 1 : Calcul direct (Image de 0)

On nous demande la température en Fahrenheit pour l'eau qui gèle ($0 ^\circ$C). En appliquant le programme de calcul : $0 \times 1,8 + 32 = 0 + 32 = 32$. Ainsi, $0 ^\circ$C correspond à $32 ^\circ$F. En termes de fonctions, on dira que l'image de $0$ par la fonction de conversion est $32$.

Question 2 : Calcul inverse (Antécédent de 212)

Ici, la démarche est inverse. On part de $212 ^\circ$F pour revenir aux Celsius. Pour cela, on « remonte » le programme de calcul : au lieu d'ajouter $32$, on le soustrait, et au lieu de multiplier par $1,8$, on divise. Calcul : $(212 - 32) \div 1,8 = 180 \div 1,8 = 100$. Le thermomètre indiquerait $100 ^\circ$C. Que se passe-t-il ? C'est la température d'ébullition de l'eau à pression atmosphérique normale.

Question 3a et 3b : Modélisation et Identification

Si $x$ est la température en Celsius, la fonction $f(x)$ s'exprime par la relation : $f(x) = 1,8x + 32$. Cette expression est de la forme $ax + b$, où $a = 1,8$ et $b = 32$. Ce type de fonction est appelé une fonction affine. Si $b$ avait été nul, on aurait parlé de fonction linéaire (proportionnalité), mais ici, l'ordonnée à l'origine est $32$.

Question 3c et 3d : Image et Antécédent

Pour l'image de $5$ : on calcule $f(5) = 1,8 \times 5 + 32 = 9 + 32 = 41$. L'image de $5$ est $41$.
Pour l'antécédent de $5$ : on cherche $x$ tel que $f(x) = 5$. On résout l'équation : $1,8x + 32 = 5 \Rightarrow 1,8x = 5 - 32 \Rightarrow 1,8x = -27 \Rightarrow x = -27 / 1,8 = -15$. L'antécédent de $5$ est $-15$.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans la confusion entre l'image et l'antécédent. Rappelez-vous : l'image est le résultat (l'arrivée), tandis que l'antécédent est la valeur de départ. Un autre point de vigilance est la priorité des opérations lors de la résolution de l'équation $1,8x + 32 = 5$ : il faut impérativement isoler le terme en $x$ avant de diviser. Enfin, n'oubliez pas que l'antécédent peut être un nombre négatif, ce qui est cohérent dans le cadre de températures ($-15 ^\circ$C).

Conseil de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez la présentation. Pour chaque question, commencez par citer la formule utilisée. Par exemple : « On utilise la fonction $f(x) = 1,8x + 32$ ». Montrez clairement vos étapes de calcul. Pour la question 3e, rédigez une phrase complète : « La relation $f(10) = 50$ signifie qu'une température de $10 ^\circ$C est équivalente à une température de $50 ^\circ$F ». Cela montre au correcteur que vous comprenez le lien entre l'algèbre et la réalité physique.