Introduction : L'enjeu de la prise d'initiatives au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) a évolué pour valoriser ce que l'on appelle la prise d'initiatives. L'exercice 7 du sujet Asie 2014 en est l'illustration parfaite. Ici, l'élève n'est pas guidé par des questions intermédiaires du type 'Calculer la longueur PC', puis 'Calculer l'angle'. Il fait face à une situation concrète : le choix d'un équipement technique (un trottoir roulant) pour un centre commercial. Pour réussir, il faut mobiliser des outils fondamentaux de la géométrie de troisième : le théorème de Pythagore et la trigonométrie, tout en intégrant des notions de vitesse et de temps. Cet exercice est idéal pour s'entraîner à structurer un raisonnement scientifique complet de manière autonome.

Analyse Méthodique de l'Enoncé

La situation nous place dans un triangle rectangle. Le schéma fourni montre un point $P$ (départ au parking), un point $H$ (projection du sol du centre commercial) et un point $C$ (arrivée au centre commercial). Le triangle $PHC$ est rectangle en $H$. Les données sont les suivantes : $PH = 25$ m (distance horizontale) et $CH = 4$ m (dénivelé vertical). Deux modèles de trottoirs roulants sont proposés avec des contraintes spécifiques d'angle d'inclinaison et de vitesse. L'objectif est de vérifier si ces modèles respectent la règle d'or : le trajet ne doit pas excéder 60 secondes (1 minute).

Étape 1 : Calculer la longueur du parcours avec Pythagore

La première étape consiste à déterminer la longueur réelle du trottoir roulant, c'est-à-dire l'hypoténuse $PC$ du triangle $PHC$. Puisque le triangle est rectangle en $H$, nous appliquons le théorème de Pythagore : $PC^2 = PH^2 + CH^2$. En remplaçant par les valeurs : $PC^2 = 25^2 + 4^2 = 625 + 16 = 641$. Ainsi, $PC = \sqrt{641} \approx 25,32$ mètres. Cette distance est cruciale car elle servira à calculer le temps de parcours pour chaque modèle.

Étape 2 : Calculer l'angle d'inclinaison avec la Trigonométrie

L'inclinaison par rapport à l'horizontale correspond à l'angle $\widehat{CPH}$. Pour le calculer, nous utilisons les rapports trigonométriques. Nous connaissons le côté opposé ($CH = 4$) et le côté adjacent ($PH = 25$). La formule de la tangente est donc la plus directe : $\tan(\widehat{CPH}) = \frac{opposé}{adjacent} = \frac{4}{25} = 0,16$. En utilisant la calculatrice (touche Arctan ou $tan^{-1}$), nous obtenons $\widehat{CPH} \approx 9,09^\circ$. Cet angle est l'élément déterminant pour valider ou éliminer les modèles selon leur fiche technique.

Étape 3 : Évaluation du Modèle 1

Le Modèle 1 impose deux conditions : un angle maximum de $12^\circ$ et une vitesse de $0,5$ m/s.
1. **Vérification de l'angle** : $9,09^\circ$ est inférieur à $12^\circ$, la condition est respectée.
2. **Vérification du temps** : Le temps se calcule par la formule $t = \frac{distance}{vitesse}$. Ici, $t = \frac{25,32}{0,5} = 50,64$ secondes. Comme $50,64 < 60$ secondes, le Modèle 1 convient parfaitement.

Étape 4 : Évaluation du Modèle 2

Le Modèle 2 propose une vitesse supérieure ($0,75$ m/s) mais une contrainte d'inclinaison plus stricte : $6^\circ$ maximum.
1. **Vérification de l'angle** : Notre calcul a montré que l'inclinaison réelle est de $9,09^\circ$. Or, $9,09^\circ > 6^\circ$. Le Modèle 2 ne respecte pas les normes de sécurité en termes d'inclinaison. Il est donc inutile de calculer le temps de parcours, ce modèle est disqualifié.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal dans cet exercice est d'oublier de calculer la longueur de l'hypoténuse et d'utiliser la distance horizontale (25m) pour le calcul du temps. Une autre erreur fréquente est la confusion entre les rapports trigonométriques (Sinus, Cosinus, Tangente). Rappelez-vous du moyen mnémotechnique **SOH CAH TOA**. Enfin, attention aux arrondis : il est préférable de garder la valeur exacte de $\sqrt{641}$ pour le calcul du temps afin d'éviter les erreurs de précision cumulées.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points sur un exercice de 'prise d'initiative' :
1. Énoncez clairement les théorèmes utilisés (ex: 'Dans le triangle PHC rectangle en H...').
2. Structurez votre réponse en deux parties distinctes (Modèle 1 / Modèle 2).
3. Concluez par une phrase explicite répondant à la question posée : 'Seul le Modèle 1 peut convenir'. Même si votre démarche est incomplète, écrivez vos pistes de réflexion, car comme l'indique l'énoncé, toute trace de recherche sera valorisée.