Introduction aux notions fondamentales

L'exercice 2 du sujet de Brevet 2014 de Polynésie est un cas pratique exemplaire mêlant la géométrie plane et le calcul numérique. Il mobilise deux piliers du programme de troisième : la proportionnalité (à travers la notion de format d'image) et le théorème de Pythagore (pour le calcul des diagonales). Dans cet exercice, l'élève doit manipuler des objets du quotidien — téléviseurs et tablettes — pour appliquer des modèles mathématiques rigoureux. L'enjeu est de comprendre que le format d'un écran n'est rien d'autre qu'un ratio entre deux grandeurs, tandis que la diagonale représente l'hypoténuse d'un triangle rectangle formé par la longueur et la largeur de l'écran.

Analyse méthodique de l'exercice

Question 1 : Identification du format d'écran

La première question demande de déterminer si un écran de 80 cm par 45 cm correspond au format $\dfrac{4}{3}$ ou $\dfrac{16}{9}$. Pour répondre, il faut calculer le rapport $\frac{longueur}{largeur}$. En effectuant $\frac{80}{45}$, on cherche à simplifier cette fraction. En divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD), qui est 5 ici, on obtient : $80 \div 5 = 16$ et $45 \div 5 = 9$. Le résultat est donc $\dfrac{16}{9}$. Le raisonnement pédagogique consiste à montrer à l'élève que la proportionnalité permet de comparer des formes géométriques indépendamment de leur taille réelle.

Question 2 : Validation de la mention commerciale

Ici, nous entrons dans une phase de conversion et d'application géométrique. On nous donne un écran de 15 pouces avec une longueur de 30,5 cm et une largeur de 22,9 cm. La démarche se fait en deux étapes :
1. Calcul de la diagonale théorique en cm : Puisque l'écran est un rectangle, la diagonale forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle. Selon le théorème de Pythagore, $d^2 = 30,5^2 + 22,9^2$. Soit $d^2 = 930,25 + 524,41 = 1454,66$. En prenant la racine carrée, on trouve $d \approx 38,14$ cm.
2. Conversion en pouces : Sachant qu'un pouce vaut 2,54 cm, on divise la valeur obtenue par 2,54 : $38,14 \div 2,54 \approx 15,01$. La mention '15 pouces' est donc parfaitement adaptée. Cet exercice apprend à l'élève à confronter un modèle mathématique à une réalité commerciale.

Question 3 : Calcul de dimension avec ratio imposé

Cette question est la plus complexe car elle demande une manipulation algébrique de la proportionnalité. On connaît la diagonale (7 pouces) et le format ($\dfrac{4}{3}$), ainsi que la longueur (14,3 cm). Pour trouver la largeur, on utilise la définition du format : $\frac{Longueur}{Largeur} = \frac{4}{3}$. En remplaçant par les valeurs connues : $\frac{14,3}{Largeur} = \frac{4}{3}$. Par un produit en croix, on obtient $Largeur = \frac{14,3 \times 3}{4}$. Le calcul donne $42,9 \div 4 = 10,725$ cm. L'énoncé demandant un arrondi au mm près, la réponse attendue est 10,7 cm. Il est crucial ici de ne pas se laisser distraire par la donnée '7 pouces' qui n'est pas nécessaire pour trouver la largeur si la longueur et le format sont déjà fournis, bien qu'elle puisse servir de vérification via Pythagore.

Les pièges à éviter lors de l'épreuve

Le premier piège est l'oubli des unités. Mélanger les pouces et les centimètres dans une même équation sans conversion préalable mènerait à un résultat totalement erroné. Deuxièmement, la confusion entre le format (un rapport de longueur) et la surface ou la diagonale. Enfin, dans la question 2, certains élèves oublient de prendre la racine carrée lors de l'application de Pythagore, s'arrêtant à $d^2$. Il est essentiel de vérifier la cohérence du résultat : une diagonale doit toujours être plus longue que la longueur ou la largeur seule.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour séduire le correcteur, commencez toujours par citer le théorème utilisé : 'Dans le triangle rectangle formé par la longueur, la largeur et la diagonale, d'après le théorème de Pythagore...'. Présentez vos calculs de manière aérée. Pour les fractions, montrez l'étape de simplification. Enfin, n'oubliez jamais la phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée (ex: 'La mention est donc adaptée car...'). Une rédaction structurée garantit la totalité des points sur ce type d'exercice technique.