Introduction aux notions clés du Brevet 2014

Cet exercice issu du sujet du Brevet des collèges 2014 (Zone Amérique du Sud) est un excellent support pour réviser trois piliers du programme de mathématiques de troisième : la modélisation algébrique, la géométrie liée aux racines carrées et l'application des formules physiques de vitesse. Sous forme de QCM (Questionnaire à Choix Multiples), il demande de la précision et de la rapidité. Rappelons que dans ce type d'épreuve, seule la réponse exacte compte, mais la démarche au brouillon doit être rigoureuse pour éviter les erreurs d'étourderie classiques.

Analyse Question 1 : Résolution de problèmes et tarifs

La première question nous plonge dans un problème de partage et de calcul de recettes. Nous avons un montant total de $1300$ euros, généré par $100$ adultes et $50$ enfants. La donnée cruciale est la relation entre les tarifs : le tarif enfant est inférieur de $4$ euros au tarif adulte. Pour résoudre cela, l'élève peut utiliser deux méthodes :

• La méthode algébrique : On note $x$ le prix enfant. Le prix adulte est alors $x + 4$. L'équation s'écrit : $50x + 100(x + 4) = 1300$. En développant, on obtient $50x + 100x + 400 = 1300$, soit $150x = 900$. Le résultat est $x = 900 / 150 = 6$.
• La méthode par élimination : Dans un QCM, on peut tester les propositions. Si le tarif enfant est $6$ euros (réponse c), alors l'adulte paie $10$ euros. Calcul : $(50 \times 6) + (100 \times 10) = 300 + 1000 = 1300$. La correspondance est parfaite.

Analyse Question 2 : Géométrie et Identités Remarquables

La deuxième question porte sur l'aire d'un rectangle AEFD. Ici, la difficulté réside dans la manipulation des racines carrées. On nous donne $AB = \sqrt{15} - 1$ et $BE = 2$. Les codages sur la figure indiquent que $AD = AB$, donc $AD = \sqrt{15} - 1$. La longueur totale $AE$ est la somme de $AB$ et $BE$ : $AE = (\sqrt{15} - 1) + 2 = \sqrt{15} + 1$.

Pour trouver l'aire du rectangle AEFD, on multiplie la longueur par la largeur : $Aire = AE \times AD = (\sqrt{15} + 1)(\sqrt{15} - 1)$. On reconnaît immédiatement l'identité remarquable $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$. En l'appliquant : $(\sqrt{15})^2 - 1^2 = 15 - 1 = 14$. La réponse exacte est donc la c. C'est un grand classique du brevet qui teste votre capacité à simplifier des expressions radicales sans calculatrice si nécessaire.

Analyse Question 3 : Cinématique et calcul de vitesse

La dernière question concerne la vitesse de propagation des ondes sismiques. La formule $v = d/t$ est explicitement rappelée. On nous donne une distance $d = 320$ km et un temps $t = 59$ secondes. Le calcul est direct : $v = 320 / 59$. En effectuant la division, la calculatrice affiche environ $5,4237...$. L'énoncé demande un arrondi au dixième. Le chiffre des centièmes étant un $2$, on conserve le chiffre des dixièmes tel quel. La réponse est donc $5,4$ km/s (réponse a). Notez que la magnitude du séisme ($5,4$) citée dans le texte est une donnée inutile (un 'distracteur') destinée à tester votre capacité à trier les informations pertinentes.

Les pièges à éviter le jour du Brevet

Sur ce type d'exercice, plusieurs erreurs sont fréquentes :
1. Confusion de variables : Dans la question 1, ne pas confondre le prix de l'adulte et celui de l'enfant.
2. Mauvais calcul de longueur : Dans la question 2, oublier d'ajouter $BE$ à $AB$ pour obtenir le côté total $AE$.
3. Erreur d'arrondi : Dans la question 3, un arrondi mal maîtrisé peut faire perdre le point. Si le résultat avait été $5,46$, l'arrondi au dixième aurait été $5,5$.

Conseil de rédaction et méthodologie

Même si aucune justification n'est attendue, ne travaillez jamais de tête. Notez vos calculs intermédiaires proprement au brouillon. Pour les QCM, gardez toujours un œil sur les unités (ici, km et secondes, donc la vitesse est naturellement en km/s). Si vous avez un doute sur une question, passez à la suivante et revenez-y à la fin : un QCM ne doit pas vous faire perdre trop de temps car chaque question a le même poids en points.