Introduction aux Notions de Géométrie et de Proportionnalité

Cet exercice issu du Brevet 2024 (Métropole) constitue un support d'entraînement idéal pour réviser les piliers de la géométrie en classe de 3ème. Le sujet mobilise des compétences variées : l'application du théorème de Thalès, l'utilisation du théorème de Pythagore, le calcul d'aires et de périmètres, ainsi que la maîtrise de la proportionnalité dans un contexte concret. L'objectif est ici de traiter un problème de vie courante (la moisson d'un champ) en le modélisant mathématiquement. Nous allons décomposer chaque étape pour comprendre comment articuler ces outils géométriques de manière efficace et rigoureuse.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'énoncé présente un triangle ABC rectangle en B. Cette information est cruciale car elle ouvre la porte à l'utilisation immédiate de Pythagore pour les longueurs et garantit la présence de droites perpendiculaires, facilitant l'établissement du parallélisme nécessaire pour Thalès.

1. Compréhension du découpage (Calcul de BG et CG)

La première question demande de montrer que $BG = 60$ m. La moissonneuse effectue 5 passages de 12 mètres chacun. Puisque les passages sont parallèles à [AB], chaque passage décale la limite de 12 m le long du segment [BC]. Le raisonnement est simple : $5 \times 12 = 60$. Ainsi, la distance parcourue sur le côté [BC] est bien de $60$ m. Pour en déduire $CG$, on utilise la soustraction : $BC - BG = 150 - 60 = 90$ m. C'est une étape de logique arithmétique qui prépare le terrain pour la géométrie plane.

2. Démonstration de la longueur GF avec Thalès

C'est ici que le théorème de Thalès entre en scène. On nous précise que les bandes sont parallèles à (AB). Par conséquent, dans le triangle ABC, la droite (GF) est parallèle à (AB). Les points C, G, B d'une part et C, F, A d'autre part sont alignés. Les conditions d'application de Thalès sont réunies. On peut écrire l'égalité des rapports : $\frac{CG}{CB} = \frac{CF}{CA} = \frac{GF}{AB}$. En utilisant les valeurs connues ($CG = 90$, $CB = 150$, $AB = 200$), on obtient $\frac{90}{150} = \frac{GF}{200}$. Par un produit en croix, $GF = \frac{90 \times 200}{150} = 120$ m. Cette démonstration doit être rédigée avec soin en citant explicitement les droites parallèles.

3. Aires et Proportionnalité : Le temps de travail

La question 3 combine géométrie et gestion de données. L'aire d'un triangle rectangle se calcule par la formule $\frac{base \times hauteur}{2}$. Ici, pour le triangle CGF rectangle en G, l'aire est $\frac{CG \times GF}{2} = \frac{90 \times 120}{2} = 5400$ m². Ensuite, on traite la proportionnalité. On sait que $9600$ m² sont moissonnés en $80$ minutes. On cherche le temps $T$ pour $5400$ m². Le calcul est : $T = \frac{5400 \times 80}{9600} = 45$ minutes. Ce type de question teste votre capacité à transférer des résultats géométriques vers un modèle de calcul de durée.

4. Périmètre et Pythagore : La clôture du champ

Pour clôturer le champ ABC, il faut calculer son périmètre : $AB + BC + AC$. Il nous manque la longueur de l'hypoténuse $AC$. Puisque le triangle ABC est rectangle en B, le théorème de Pythagore s'applique : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Soit $AC^2 = 200^2 + 150^2 = 40000 + 22500 = 62500$. En prenant la racine carrée, on trouve $AC = 250$ m. La longueur totale de la clôture est donc $200 + 150 + 250 = 600$ m.

Les Pièges à Éviter

• L'oubli des unités : Au Brevet, une réponse sans unité (m, m², min) peut coûter des points. Vérifiez systématiquement que vos résultats sont cohérents avec l'unité demandée.
• Confusion Thalès/Pythagore : Rappelez-vous que Pythagore sert à calculer des longueurs dans un triangle rectangle (lien entre les trois côtés), alors que Thalès sert à calculer des longueurs lorsqu'il y a des droites parallèles.
• Mauvaise rédaction : Ne vous contentez pas du calcul. La mention "Démontrer que" impose de citer le théorème utilisé et de vérifier ses conditions d'application (parallélisme, alignement).

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour maximiser vos points, structurez votre réponse en trois temps : 1. "On sait que..." (énoncez les données utiles et les propriétés géométriques comme le parallélisme). 2. "Or, d'après le théorème de..." (citez le nom du théorème). 3. "Donc..." (présentez le calcul et le résultat final encadré). Une copie aérée avec des théorèmes clairement identifiés est toujours mieux valorisée par le correcteur.