Introduction aux notions clés du Brevet 2024

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2024 (Zone Asie), constitue une excellente préparation pour les élèves de Troisième. Il mobilise plusieurs compétences fondamentales du cycle 4 : l'extraction d'informations à partir de tableaux à double entrée, la modélisation de situations réelles par des fonctions (linéaires, affines et constantes), et la résolution d'équations. L'enjeu ici est de comprendre comment les mathématiques permettent d'optimiser un budget de voyage, une compétence pratique essentielle.

Analyse Méthodique de la Partie A : Lecture et Calculs de Coûts

La première étape consiste à extraire la bonne donnée du tableau indicatif des distances. Pour un trajet Strasbourg-Marseille, le tableau indique $803$~km. L'erreur classique est d'oublier que le trajet est un aller-retour. La distance totale parcourue est donc de $803 \times 2 = 1\,606$~km. C'est sur cette base que tous les calculs suivants reposent.

Pour la Formule B, le coût se compose d'une partie fixe (le forfait) et d'une partie variable (au kilomètre). Le calcul est le suivant : $300 + 0,25 \times 1\,606$. On obtient bien $701,50$~€, ce qui valide la question 2. Pour la question 3, il faut comparer les trois options : la Formule A coûte $1\,606 \times 0,50 = 803$~€, et la Formule C est un forfait fixe à $900$~€. La Formule B est donc la plus économique pour cette distance précise.

Analyse du Budget Total (Tâche Complexe)

La question 4 est une 'tâche complexe' qui demande d'additionner trois postes de dépenses : la location, le carburant et les péages. Le calcul du carburant nécessite une attention particulière sur la proportionnalité. Si la voiture consomme $5,6$~L pour $100$~km, elle consommera $(1\,606 / 100) \times 5,6 \approx 89,936$~litres. Avec un prix du gazole à $1,87$~€ le litre, le coût du carburant s'élève à environ $168,18$~€. En additionnant la location ($701,50$~€), le carburant ($168,18$~€) et les péages ($115,80$~€), le total dépasse les $1\,000$~€ du budget initial. Le budget est donc insuffisant.

Analyse de la Partie B : Modélisation par les Fonctions

Le passage à l'abstraction est au cœur de cette partie. On définit $x$ comme la distance parcourue :
- Formule A : $f_A(x) = 0,50x$ (Fonction linéaire, représentée par une droite passant par l'origine).
- Formule B : $f_B(x) = 0,25x + 300$ (Fonction affine, ordonnée à l'origine de $300$).
- Formule C : $f_C(x) = 900$ (Fonction constante, droite horizontale).

L'association des courbes découle directement de ces propriétés : la Courbe 3 part de zéro (Formule A), la Courbe 2 part de $300$ (Formule B) et la Courbe 1 est stable à $900$ (Formule C).

Résolution d'Équation et Interprétation Graphique

L'équation $0,25x + 300 = 0,5x$ permet de trouver le point d'intersection des deux premières courbes. En isolant $x$, on obtient $0,25x = 300$, d'où $x = 1\,200$. Ce résultat signifie qu'à $1\,200$~km, les formules A et B coûtent exactement le même prix. Au-delà de cette distance, la pente de la formule B (plus faible) rend cette option plus avantageuse que la A.

Les Pièges à Éviter

1. L'unité de consommation : Ne confondez pas 'L pour 100 km' avec 'km par litre'. Divisez toujours la distance par $100$ avant de multiplier par la consommation.
2. L'oubli du forfait : Dans la formule B, n'oubliez pas d'ajouter les $300$~€ fixes avant de faire vos comparaisons.
3. Précision graphique : Lors de la lecture sur le repère, assurez-vous de bien identifier l'échelle des axes ($1$ carreau n'égale pas forcément $1$ unité).

Conseils de Rédaction pour l'Épreuve

Pour maximiser vos points, structurez vos réponses. Commencez par citer la donnée utilisée ('D'après le tableau...'), présentez votre calcul en ligne, puis concluez par une phrase claire. Pour la question sur le budget, montrez explicitement l'addition de chaque coût. Même si votre résultat final est légèrement différent à cause des arrondis, une démarche logique et bien expliquée rapportera la majorité des points de recherche.