Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2024 pour la zone Amérique du Nord est une synthèse parfaite des attendus de fin de cycle 4. Il mobilise plusieurs compétences fondamentales : la géométrie plane pour l'étude des formes, la proportionnalité à travers les ratios et les mélanges, ainsi que le calcul de volumes et d'aires. L'élève doit être capable de passer d'une représentation en perspective à un plan de dessus et de manipuler des données concrètes pour résoudre un problème de la vie courante.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Maîtrise des longueurs et de la géométrie plane

La première étape consiste à extraire des informations du schéma 'Vue de dessus'. On nous demande de montrer que $FJ = 4\mathrm{~m}$. Pour cela, l'observation du segment $[EJ]$ est cruciale. On sait que la longueur totale $EJ = 10\mathrm{~m}$ et que $EFGH$ est un rectangle. Par conséquent, la longueur du côté $[EF]$ est égale à celle de son côté opposé $[HG]$, soit $6\mathrm{~m}$. Par soustraction, on obtient $FJ = EJ - EF = 10 - 6 = 4\mathrm{~m}$. Ce type de raisonnement par décomposition de segments est un classique du Brevet.

2. Calcul du périmètre : La délimitation de la terrasse

Pour calculer la longueur de planches nécessaire (périmètre), il ne faut pas oublier d'inclure tous les côtés extérieurs : $EH$, $HG$, $GJ$, $JI$ et l'ensemble de la base. Attention, le segment $GJ$ n'est pas donné. Il s'agit de l'hypoténuse du triangle rectangle $FGJ$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle $FGJ$ rectangle en $F$ : $GJ^2 = GF^2 + FJ^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Donc $GJ = \sqrt{25} = 5\mathrm{~m}$. Le périmètre total à coffrer correspond à la somme des côtés : $EH + HG + GJ + JI + \text{base}$. Notez que pour la 'longueur de planches', on se réfère souvent au pourtour de la surface supérieure ou de la base.

3. Volume et Ratios : Le mélange du béton

Le calcul du volume de la terrasse est l'étape charnière. La terrasse est un prisme droit dont la base est un trapèze (ou la réunion d'un rectangle et d'un triangle). L'aire de la base est $\text{Aire}(EFGH) + \text{Aire}(FGJ) = (6 \times 3) + \frac{4 \times 3}{2} = 18 + 6 = 24\mathrm{~m}^2$. La hauteur de la terrasse est de $15\mathrm{~cm}$, soit $0,15\mathrm{~m}$ (la conversion est impérative !). Le volume est donc $V = 24 \times 0,15 = 3,6\mathrm{~m}^3$. Comme $3,6 < 4$, l'affirmation est vérifiée.

Concernant la proportionnalité et les ratios $2:7:5$ pour le ciment, le gravier et le sable : cela signifie qu'il y a $2 + 7 + 5 = 14$ parts au total. Pour réaliser $4\mathrm{~m}^3$ de béton avec $250\mathrm{~kg}$ de ciment par $1\mathrm{~m}^3$, il faut $4 \times 250 = 1000\mathrm{~kg}$ de ciment. Si $1000\mathrm{~kg}$ de ciment correspondent à $2$ parts du ratio, alors une part pèse $500\mathrm{~kg}$. La masse de gravier ($7$ parts) sera de $7 \times 500 = 3500\mathrm{~kg}$ et celle de sable ($5$ parts) sera de $5 \times 500 = 2500\mathrm{~kg}$.

4. Optimisation des coûts : Peinture et Pourcentages

Le Document 3 précise que deux couches sont nécessaires sur une aire de $24\mathrm{~m}^2$. La surface totale à peindre est donc $24 \times 2 = 48\mathrm{~m}^2$. Puisque $1$ litre couvre $5\mathrm{~m}^2$, il faut $48 / 5 = 9,6$ litres. Deux options s'offrent à nous :
- 2 pots de $5\mathrm{~L}$ (Pot A)
- 1 pot de $10\mathrm{~L}$ (Pot B)
C'est ici qu'intervient le pourcentage. Si l'offre de 'Moins 50%' s'applique sur le deuxième pot, l'élève doit calculer le prix de revient de deux pots A ($79,90 + 39,95$) et le comparer au prix d'un pot B ($129,90$). L'analyse financière est un exercice de plus en plus courant au Brevet.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est l'oubli de la conversion de la hauteur de la terrasse ($15\mathrm{~cm}$ vers $0,15\mathrm{~m}$). Travailler avec des unités hétérogènes conduit systématiquement à un résultat erroné. De plus, pour le calcul de la peinture, n'oubliez jamais de multiplier la surface par le nombre de couches spécifié dans l'énoncé. Enfin, dans les ratios, vérifiez toujours que la somme des parts correspond bien à la masse totale si celle-ci est donnée.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en annonçant la propriété ou la formule utilisée : 'D'après le théorème de Pythagore...' ou 'En utilisant la formule du volume d'un prisme...'. Présentez vos calculs de manière claire, sans oublier l'unité finale ($m, m^2, m^3$ ou $kg$). Une phrase de conclusion répondant précisément à la question posée (ex: 'Ils doivent acheter 3500 kg de gravier') est toujours appréciée par le correcteur.