Analyse de la modélisation quadratique

Cet exercice propose une étude concrète d'une fonction du second degré à travers la thématique de la sécurité routière. La formule $D = \frac{5}{18}V + 0,006V^2$ est un polynôme de la forme $f(V) = aV^2 + bV$. En classe de Première Spécialité, il est essentiel de comprendre que la croissance d'une telle fonction n'est pas proportionnelle (linéaire) : le terme au carré ($V^2$) devient prédominant à haute vitesse, ce qui explique pourquoi la distance d'arrêt explose lors d'un passage de 110 à 130 km/h.

Points de vigilance et notions requises

• Calculs avec puissances : Une erreur fréquente consiste à multiplier avant d'élever au carré. Rappelez-vous que $0,006 \times V^2$ signifie $0,006 \times (V \times V)$.
• Syntaxe Tableur : Les formules de tableur utilisent des astérisques pour la multiplication (*) et le symbole chapeau (^) pour les puissances. La référence à la cellule contenant la variable est cruciale pour la recopie automatique.
• Proportionnalité : Une fonction du second degré $f(x) = ax^2 + bx$ ne vérifie jamais la propriété de linéarité $f(2x) = 2f(x)$, sauf dans le cas trivial où les coefficients sont nuls.

Correction détaillée de l'exercice

1. Cas de la conduite à 130 km/h :
Appliquons la formule pour $V = 130$ :
$D = \frac{5}{18} \times 130 + 0,006 \times 130^2$
$D \approx 36,11 + 0,006 \times 16900$
$D \approx 36,11 + 101,4 = 137,51$ m.
L'obstacle est à 100 m, or $137,51 > 100$. Le conducteur ne pourra donc pas s'arrêter à temps.

2. Formule Tableur :
En cellule B2, pour calculer la distance à partir de la vitesse située en A2, on saisit : =5/18*A2+0,006*A2^2.

3. Analyse de l'affirmation sur la vitesse :
Regardons les données du tableau : à 40 km/h, $D = 21$ m. Si on double la vitesse (80 km/h), la distance devrait être de $21 \times 2 = 42$ m si l'affirmation était juste. Or, le tableau indique 61 m. L'affirmation est donc fausse.

4. Règle de tête du code de la route :
Pour 80 km/h, le chiffre des dizaines est 8. La règle donne $8 \times 8 = 64$ m. Le tableau calculé avec la formule donne 61 m. On peut considérer que le résultat est cohérent, car la règle donne une approximation sécurisante (légèrement supérieure à la réalité).