Analyse de l'énoncé
Cet exercice porte sur l'arithmétique élémentaire, un domaine qui reste fondamental pour la Première Spécialité Mathématiques, notamment pour la compréhension de l'algorithmie et du raisonnement logique. L'objectif est de répartir deux quantités distinctes (2622 œufs et 2530 poissons) dans des lots identiques sans qu'il y ait de reste. Mathématiquement, cela revient à chercher les diviseurs communs de ces deux nombres.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser deux notions clés :
- La divisibilité : Un nombre $d$ divise $a$ si le reste de la division euclidienne est nul.
- Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) : Il correspond au nombre maximal de paquets réalisables sous les contraintes imposées par l'énoncé.
En Spécialité, on peut également faire le lien avec l'
algorithme d'Euclide, qui est le support idéal pour des exercices de programmation en
Python.
Correction détaillée
1. Analyse de la possibilité de 19 paquets
Pour savoir si le chocolatier peut réaliser 19 paquets, il faut vérifier si 19 est un diviseur commun de 2622 et 2530.
Calculons :
2622 / 19 = 138 (c'est un entier, donc 19 divise 2622).
2530 / 19 ≈ 133,15.
Puisque 2530 n'est pas divisible par 19, le chocolatier ne peut pas faire 19 paquets identiques sans qu'il reste de poissons en chocolat.
2. Recherche du nombre maximal de paquets
Le nombre maximal de paquets correspond au PGCD(2622, 2530). Utilisons l'algorithme d'Euclide :
2622 = 1 × 2530 + 92
2530 = 27 × 92 + 46
92 = 2 × 46 + 0
Le dernier reste non nul est 46. Le PGCD est donc 46. Le chocolatier peut réaliser au maximum 46 paquets.
3. Composition de chaque paquet
Pour trouver la composition, on divise chaque stock par le nombre de paquets :
Œufs : 2622 / 46 = 57
Poissons : 2530 / 46 = 55
Chaque paquet contiendra donc 57 œufs et 55 poissons.
Lien avec le programme de Python
En Première Spécialité, vous pourriez être amenés à écrire une fonction Python pour automatiser ce calcul :
def calcul_pgcd(a, b):
while b != 0:
a, b = b, a % b
return a