Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, constitue une excellente base de révision pour le niveau Première Spécialité. Il sollicite la capacité à transformer un algorithme de calcul (procédure pas à pas) en une expression algébrique formelle. L'enjeu principal réside dans la manipulation des expressions de degré 2 et l'utilisation des identités remarquables pour démontrer l'équivalence de deux programmes de calcul. En mathématiques de spécialité, cette compétence est fondamentale pour l'étude des fonctions polynomiales et la simplification d'expressions avant dérivation.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, plusieurs notions doivent être parfaitement maîtrisées :

• L'identité remarquable : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. C'est l'outil clé pour développer l'étape 3 du Programme A.
• La gestion des signes : En particulier lors du calcul avec des nombres négatifs comme $-5$ ou lors de la soustraction du carré du nombre de départ.
• La modélisation : Passer du langage naturel ("Choisir un nombre", "Ajouter 3") au langage algébrique ($x$, $x+3$).
• Résolution d'équation : Isoler l'inconnue $x$ dans une équation du premier degré de la forme $ax + b = c$.

Correction détaillée et Guide de résolution

1. Application numérique du Programme A :
a. Pour $x = 4$ :
On ajoute 3 : $4 + 3 = 7$.
On élève au carré : $7^2 = 49$.
On soustrait le carré du nombre de départ : $49 - 4^2 = 49 - 16 = 33$. Le résultat est bien 33.
b. Pour $x = -5$ :
On ajoute 3 : $-5 + 3 = -2$.
On élève au carré : $(-2)^2 = 4$.
On soustrait le carré du nombre de départ : $4 - (-5)^2 = 4 - 25 = -21$.

2. Preuve de l'affirmation de Clément :
Appelons $x$ le nombre choisi au départ. Traduisons les programmes en fonctions.
Pour le Programme A : $f(x) = (x + 3)^2 - x^2$.
En développant avec l'identité remarquable $(a+b)^2$, on obtient : $f(x) = (x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2) - x^2 = x^2 + 6x + 9 - x^2 = 6x + 9$.
Pour le Programme B : $g(x) = x \times 6 + 9 = 6x + 9$.
On constate que $f(x) = g(x)$ pour tout réel $x$. Clément a donc raison : les deux programmes sont mathématiquement équivalents.

3. Recherche du nombre de départ :
Nous cherchons $x$ tel que $6x + 9 = 54$.
Soustrayons 9 de chaque côté : $6x = 54 - 9 \Rightarrow 6x = 45$.
Divisons par 6 : $x = 45 / 6 = 7,5$.
Il faut choisir 7,5 au départ pour obtenir 54.