Analyse de l'énoncé de géométrie
Cet exercice, initialement posé lors de la session de septembre 2015, constitue une excellente base de révision pour un élève de Première Spécialité. Bien que le programme de Première se concentre sur le produit scalaire et la géométrie repérée, la maîtrise parfaite des configurations planes classiques (Thalès et Pythagore) est indispensable pour aborder les problèmes complexes de géométrie analytique.
L'énoncé nous présente une figure composée de triangles emboîtés. Les données clés sont l'orthogonalité au point A (triangle rectangle), le parallélisme des droites (MU) et (AB), ainsi que l'alignement de plusieurs séries de points. Ces informations sont les signaux classiques indiquant l'utilisation des deux grands théorèmes du collège, qui restent des outils de calcul de longueurs privilégiés au lycée.
Points de vigilance et notions de cours requises
- Le Théorème de Pythagore : Utilisable uniquement dans un triangle rectangle pour lier les carrés des trois côtés. Ici, il sert à déterminer l'hypoténuse du triangle principal JAB.
- Le Théorème de Thalès : La présence de droites parallèles (MU) et (AB) dans une configuration en triangle (triangle JAB avec la section MU) appelle immédiatement ce théorème. Attention à bien identifier le sommet commun (J) pour écrire les rapports de proportionnalité.
- Calcul d'aire : Pour un triangle, la formule de base est (Base × Hauteur) / 2. Dans un triangle rectangle ou avec une hauteur identifiée, le choix du côté servant de base est crucial.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Calcul de la longueur JB :
Le triangle JAB est rectangle en A. D'après le théorème de Pythagore :
JB² = JA² + AB²
JB² = 18² + 7,5² = 324 + 56,25 = 380,25
JB = √380,25 = 19,5 m.
2. Montrer que AC = 5,4 m :
On sait que (MU) // (AB). Comme les points A, C et B sont alignés, la droite (AB) est la même que la droite (AC). On est donc dans une configuration de Thalès dans le triangle JAC avec la droite (MU) parallèle à (AC).
D'après le théorème de Thalès : JM/JA = JU/JC = MU/AC.
En utilisant les valeurs connues : 10/18 = 3/AC.
Par produit en croix : AC = (18 × 3) / 10 = 54 / 10 = 5,4 m. Le résultat est bien conforme à l'énoncé.
3. Calcul de l'aire du triangle JCB :
Le point C appartient au segment [AB]. On peut donc calculer la base CB :
CB = AB - AC = 7,5 - 5,4 = 2,1 m.
Dans le triangle JCB, la hauteur issue de J est le segment [JA] car (JA) est perpendiculaire à (AB).
Aire(JCB) = (Base × Hauteur) / 2 = (CB × JA) / 2
Aire(JCB) = (2,1 × 18) / 2 = 18,9 m².
Transition vers la Première Spécialité
En Première Spécialité, ce type d'exercice pourrait être enrichi par l'utilisation d'un repère orthonormé. En posant A(0;0), B(7.5;0) et J(0;18), on pourrait retrouver les coordonnées de C et U par des équations de droites ou des calculs de vecteurs colinéaires, illustrant ainsi la puissance de la géométrie repérée sur la géométrie synthétique.