Analyse de l'énoncé : La modélisation par la division euclidienne

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, mobilise des compétences de raisonnement logique et d'arithmétique fondamentales pour un élève de Première Spécialité. Le problème nous expose une situation de partage équitable avec reste, ce qui se traduit mathématiquement par la relation de la division euclidienne : $a = bq + r$, où $a$ est le dividende, $b$ le diviseur (le nombre d'enfants), $q$ le quotient (nombre de ballons par enfant) et $r$ le reste.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre ce problème, deux notions sont cruciales :

• La définition du reste : Dans une division euclidienne, le reste $r$ doit impérativement être strictement inférieur au diviseur $b$. Ici, cela signifie que le nombre d'enfants doit être supérieur à 37 (le plus grand reste observé).
• La notion de diviseur commun : Le diviseur recherché doit diviser la différence entre le total et le reste.

Guide de résolution pas à pas

Étape 1 : Traduction algébrique

Soit $n$ le nombre d'enfants. Les informations de l'énoncé nous donnent les deux relations suivantes :
1) $397 = n \times k_1 + 37$
2) $598 = n \times k_2 + 13$

Cela implique que $n$ est un diviseur de $397 - 37 = 360$ et que $n$ est également un diviseur de $598 - 13 = 585$.

Étape 2 : Recherche des diviseurs communs

Nous cherchons donc un diviseur commun à 360 et 585. Pour trouver le maximum, nous calculons le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de ces deux nombres. Utilisons la décomposition en produits de facteurs premiers :
- $360 = 36 \times 10 = 6^2 \times 2 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5$
- $585 = 5 \times 117 = 5 \times 9 \times 13 = 3^2 \times 5 \times 13$

Le PGCD est composé des facteurs communs munis de leur plus petit exposant : $PGCD(360, 585) = 3^2 \times 5 = 9 \times 5 = 45$.

Étape 3 : Vérification des contraintes

Les diviseurs communs de 360 et 585 sont les diviseurs de leur PGCD (45), à savoir : 1, 3, 5, 9, 15, 45. Cependant, nous avons établi que le nombre d'enfants $n$ doit être strictement supérieur au reste le plus élevé. Comme il reste 37 ballons lors du premier partage, on a nécessairement $n > 37$.

La seule valeur possible parmi les diviseurs communs qui respecte cette condition est 45. Il y avait donc au maximum 45 enfants présents à la fête.