Analyse approfondie de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet de Polynésie 2015, est un cas d'étude parfait pour les élèves de Première Spécialité. Il permet de faire le lien entre l'algorithmie (sous forme de programme de calcul) et l'étude des fonctions polynômes du second degré. L'objectif central est de savoir traduire une séquence d'opérations en une expression algébrique f(x) = (x + 1)² - 9 et d'en étudier les propriétés, notamment ses racines.
Modélisation algébrique et Algorithmie
Le programme de calcul suit une logique algorithmique séquentielle que l'on peut modéliser ainsi :
- Étape 1 : Choisir un nombre x.
- Étape 2 : x + 1 (Ajouter 1).
- Étape 3 : (x + 1)² (Passage au carré).
- Étape 4 : (x + 1)² - 9 (Soustraction).
En Première Spécialité, on reconnaît ici la forme canonique d'un trinôme du second degré de la forme a(x-α)² + β, où a=1, α=-1 et β=-9. Cette structure est idéale pour identifier rapidement le sommet de la parabole associée (-1 ; -9) et son sens de variation.
Points de vigilance et notions de cours
Pour traiter cet exercice avec succès au niveau lycée, plusieurs compétences sont nécessaires :
- Calcul littéral : La maîtrise des identités remarquables est indispensable, particulièrement pour la factorisation ultérieure.
- Équations du second degré : Savoir résoudre f(x) = 0 en utilisant soit la factorisation (identité remarquable a²-b²), soit le discriminant Δ après développement.
- Compétences numériques : L'interprétation d'un tableur et la compréhension des références relatives (comme la cellule B2 qui contient une formule recopiée) sont des points clés du programme.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Vérification pour x = 7 : On suit les étapes : 7 + 1 = 8 ; 8² = 64 ; 64 - 9 = 55. Le résultat est bien 55.
2. Application avec x = -6 : On calcule (-6 + 1) = -5. En élevant au carré, on obtient (-5)² = 25. Enfin, 25 - 9 = 16. Notez que le carré d'un nombre négatif est toujours positif.
3. Formule du tableur : La colonne B affiche le résultat de la première étape (ajouter 1). En cellule B2, Jim a donc saisi la formule =A2+1.
4. Recherche des antécédents de 0 : On cherche x tel que (x + 1)² - 9 = 0. En Première, deux méthodes s'offrent à vous :
- Méthode par factorisation : On reconnaît une différence de deux carrés : (x+1)² - 3² = 0. Ce qui donne ((x+1)-3)((x+1)+3) = 0, soit (x-2)(x+4) = 0. Les solutions sont x = 2 et x = -4.
- Méthode du discriminant : On développe f(x) = x² + 2x + 1 - 9 = x² + 2x - 8. Avec Δ = 2² - 4(1)(-8) = 36. Les racines sont (-2 ± 6)/2, ce qui confirme x = 2 et x = -4.
Le tableur confirmait déjà la solution x = 2 à la ligne 14, illustrant l'importance de savoir croiser les outils numériques et algébriques.