Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien que fondé sur des bases de troisième, constitue une révision essentielle pour un élève de Première Spécialité. Il traite de la modélisation d'un phénomène physique par une fonction affine, une forme simplifiée de polynôme du premier degré. L'objectif est de savoir passer d'une représentation graphique (géométrie repérée) à une expression algébrique, tout en vérifiant la cohérence des modèles proposés. En Première, la maîtrise des variations et de la résolution d'équations linéaires est le socle nécessaire à l'étude des polynômes de degré supérieur et de la dérivation.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut mobiliser plusieurs compétences clés :

• La proportionnalité : Une relation de proportionnalité se traduit graphiquement par une droite passant par l'origine. Si l'ordonnée à l'origine $b$ est non nulle, la fonction est affine mais pas linéaire.
• Lecture graphique : Savoir identifier des points particuliers, comme l'intersection avec l'axe des ordonnées ($f(0) = 32$).
• Équations de premier degré : Résoudre $f(x) = x$ pour trouver le point fixe de la transformation, un concept que l'on retrouve plus tard dans l'étude des suites.

Correction détaillée et guide de résolution

1. Analyse de la proportionnalité :
En observant la Représentation 2, nous constatons que la courbe représentative de la fonction est une droite. Cependant, cette droite ne passe pas par l'origine du repère $(0;0)$. En effet, pour $0 \text{°C}$, on lit environ $32 \text{°F}$. Il n'y a donc pas proportionnalité entre les deux unités de mesure.

2. Justification du choix de la fonction :
Vérifions les propositions en utilisant les données graphiques ou le thermomètre :

• D'après la Représentation 1, pour $0 \text{°C}$, on a $32 \text{°F}$. La proposition 3 donne $f(0) = 2(0) + 30 = 30$, elle est donc fausse.
• D'après la Représentation 1, pour $10 \text{°C}$, on a $50 \text{°F}$. La proposition 1 donne $f(10) = 10 + 32 = 42$, elle est donc fausse.
• Vérifions la proposition 2 : $f(0) = 1,8(0) + 32 = 32$ et $f(10) = 1,8(10) + 32 = 18 + 32 = 50$. Ces valeurs correspondent parfaitement aux données.

3. Calculs :
Calcul de $f(10)$ : $f(10) = 1,8 \times 10 + 32 = 50$.
Calcul de $f(-40)$ : $f(-40) = 1,8 \times (-40) + 32 = -72 + 32 = -40$.

4. Recherche du point d'égalité :
On cherche $x$ tel que $f(x) = x$.
$1,8x + 32 = x \iff 1,8x - x = -32 \iff 0,8x = -32 \iff x = \frac{-32}{0,8} = -40$.
Il existe donc une valeur unique, $-40$, où les températures Celsius et Fahrenheit sont identiques.