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Exercice Première Spécialité - 2015 - Ex 2 : Trigonométrie

1 juin 2015 Troisième (Brevet)

Révise la Trigonométrie avec cet exercice concret ! 📐

Besoin de comprendre à quoi servent les sinus, cosinus et tangentes dans la vraie vie ? Cet exercice sur la construction d'une rampe d'accès pour fauteuil roulant est l'exemple parfait !

✅ Concret : Applique tes cours à un problème d'architecture.
✅ Essentiel : Maîtrise les bases avant d'attaquer le cercle trigonométrique de Première.
✅ Rapide : Un calcul efficace pour booster ta confiance.

Prêt à devenir un expert de la géométrie ? C'est parti ! 🚀

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Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2015, est une application concrète de la trigonométrie dans le triangle rectangle. Bien que positionné historiquement au niveau brevet, les notions de trigonométrie sont fondamentales en Première Spécialité, notamment pour l'étude du cercle trigonométrique et des fonctions sinus/cosinus. Ici, la problématique est de calculer une distance horizontale (AB) nécessaire pour installer une rampe d'accès respectant une pente de 3 degrés.

Points de vigilance et prérequis

Pour réussir cet exercice, l'élève doit maîtriser les points suivants :

Identification des côtés dans un triangle rectangle : l'hypoténuse (le plus long côté), le côté opposé à l'angle donné, et le côté adjacent.
Utilisation des formules SOH CAH TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent.
Configuration de la calculatrice en mode DEGRÉS (indispensable pour éviter des erreurs de calcul classiques).
Règles d'arrondi au centimètre près.

Guide de résolution détaillé

Dans le triangle ABC rectangle en B, nous connaissons :

L'angle CAB qui mesure 3°.
La longueur du côté opposé à l'angle CAB, qui est BC = 30 cm (la hauteur de la marche).

Nous cherchons la longueur du côté adjacent AB. La relation trigonométrique qui lie le côté opposé et le côté adjacent est la tangente.

La formule s'écrit : tan(CAB) = BC / AB.

En remplaçant par les valeurs numériques, nous obtenons : tan(3°) = 30 / AB. En isolant AB, on trouve : AB = 30 / tan(3°).

À l'aide de la calculatrice : AB ≈ 30 / 0,052407... ≈ 572,43 cm. En arrondissant au centimètre le plus proche, la longueur AB est de 572 cm (soit environ 5,72 mètres).

Conclusion pédagogique

Cet exercice illustre parfaitement comment les mathématiques répondent à des normes d'accessibilité. En Première Spécialité, ce type de calcul est le socle avant d'aborder des notions plus complexes comme la dérivation des fonctions trigonométriques ou l'utilisation du produit scalaire dans des triangles quelconques (théorème d'Al-Kashi).