Analyse de l'énoncé et enjeux pédagogiques

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2015, constitue un excellent test de base pour les élèves de Première Spécialité. En effet, la géométrie du lycée, notamment la géométrie repérée et l'étude des vecteurs, repose sur une maîtrise parfaite des théorèmes fondamentaux de la géométrie plane : le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. L'objectif ici est de calculer des longueurs précises dans une configuration imbriquée, tout en respectant des consignes d'arrondi et de justification rigoureuse.

Points de vigilance et prérequis

• Théorème de Pythagore : Utilisé pour calculer une longueur dans un triangle rectangle. Ici, le triangle ADK est rectangle en K (indiqué par le symbole d'angle droit).
• Théorème de Thalès : Utilisé pour les rapports de proportionnalité dans des triangles semblables. Il nécessite la preuve préalable que deux droites sont parallèles.
• Arrondis : La question 1 demande une précision au millimètre près. Puisque les données sont en cm, cela signifie un chiffre après la virgule.

Correction détaillée de l'exercice

1. Calcul de la longueur KA :

Le triangle ADK est rectangle en K. D'après le théorème de Pythagore, nous avons la relation suivante : $AD^2 = AK^2 + DK^2$. En remplaçant par les valeurs numériques fournies dans l'énoncé, nous obtenons : $60^2 = AK^2 + 11^2$. Ce qui donne $3600 = AK^2 + 121$. Pour isoler $AK^2$, nous effectuons la soustraction : $AK^2 = 3600 - 121 = 3479$. La longueur AK est donc la racine carrée de ce résultat : $AK = \sqrt{3479} \approx 58,983...$ cm. La consigne demandant un arrondi au millimètre près, nous observons le deuxième chiffre après la virgule (8). L'arrondi correct est donc $KA \approx 59,0$ cm.

2. Calcul de la longueur HP :

Pour utiliser le théorème de Thalès, nous devons d'abord établir que les droites (HP) et (DK) sont parallèles. Les points K, H, A sont alignés et les points D, P, A sont alignés. Comme (DK) est perpendiculaire à (KA) et que (HP) est perpendiculaire à (KA) (d'après le codage de la figure), alors (DK) // (HP) car deux droites perpendiculaires à une même troisième sont parallèles entre elles.

Nous appliquons maintenant le théorème de Thalès dans le triangle ADK : $AP/AD = AH/AK = HP/DK$. Commençons par calculer la longueur AP : $AP = AD - DP = 60 - 45 = 15$ cm. Utilisons le rapport $AP/AD = HP/DK$. Cela nous donne $15/60 = HP/11$. On remarque que $15/60 = 1/4 = 0,25$. Par conséquent, $HP = 11 \times 0,25 = 2,75$ cm.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, ce type de configuration est souvent traité sous l'angle de la géométrie analytique. Si l'on plaçait le point K à l'origine d'un repère orthonormé $K(0;0)$, on pourrait définir les coordonnées des points : $D(0;11)$ et $A(58,98;0)$. Le calcul de la distance AD via la formule $\sqrt{(x_A-x_D)^2 + (y_A-y_D)^2}$ redonnerait exactement la valeur de l'hypoténuse. La maîtrise de Thalès est également cruciale pour comprendre la colinéarité des vecteurs.