Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège (DNB), constitue un excellent rappel pour les élèves de Première Spécialité sur la manipulation des solides usuels et la rigueur des calculs d'unités. Il demande de décomposer un objet complexe (une gélule) en formes géométriques simples : un cylindre et deux demi-sphères. L'enjeu est double : maîtriser les formules de volume et savoir exploiter des données physiques (masse volumique) pour répondre à une problématique concrète.
Points de vigilance et notions de cours
- Calcul du rayon : L'énoncé donne le diamètre ($9,5$ mm). Il est crucial de diviser par deux pour obtenir le rayon ($R = 4,75$ mm) avant d'appliquer les formules.
- Décomposition du solide : La gélule est composée de deux demi-sphères à chaque extrémité. Réunies, elles forment une sphère complète de même rayon.
- Unités et conversions : La masse volumique est donnée en $g/mm^3$. Comme les dimensions sont en mm et le volume calculé en $mm^3$, aucune conversion d'unité de longueur n'est nécessaire avant l'étape finale.
Correction détaillée
1. Identification du calibre
La longueur totale $L$ de la gélule est la somme de la hauteur du cylindre et des deux rayons des demi-sphères (soit un diamètre complet).
$$L = 16,6 + 9,5 = 26,1 \text{ mm}$$
En consultant le tableau, on constate que la longueur de $26,1$ mm correspond au calibre 000.
2. Calcul du volume de la gélule
Le volume total $V$ est la somme du volume du cylindre et de celui de la sphère :
- Volume de la sphère : $V_s = \frac{4}{3} \times \pi \times 4,75^3 \approx 448,92 \text{ mm}^3$
- Volume du cylindre : $V_c = \pi \times 4,75^2 \times 16,6 \approx 1176,67 \text{ mm}^3$
Volume total : $V \approx 448,92 + 1176,67 = 1625,59$.
Arrondi à l'unité, on obtient $V \approx 1626 \text{ mm}^3$.
3. Calcul de la masse d'antibiotique
Robert prend une boîte de 3 plaquettes de 6 gélules, soit $3 \times 6 = 18$ gélules au total.
La masse totale $M$ absorbée se calcule par : $M = \text{Nombre de gélules} \times \text{Volume} \times \text{Masse volumique}$.
$$M = 18 \times 1626 \times 6,15 \times 10^{-4} \approx 17,999$$
La masse totale absorbée par Robert est donc d'environ 18 grammes.