Analyse de l'énoncé : La modélisation au cœur des mathématiques

Cet exercice, bien qu'initialement posé lors d'une session de Brevet, constitue une base fondamentale pour tout élève de Première Spécialité. La capacité à transformer un problème concret (comptage de véhicules et de roues) en un modèle mathématique abstrait est une compétence clé. En Première, cette gymnastique intellectuelle est sollicitée dans l'étude des fonctions, la géométrie repérée ou encore l'optimisation linéaire. Ici, le défi consiste à identifier deux inconnues et à poser un système de deux équations linéaires.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre ce type de problème, plusieurs étapes méthodologiques sont cruciales :

• Le choix des variables : Il est impératif de définir précisément ce que représentent vos lettres. Par exemple, soit $x$ le nombre de vélos et $y$ le nombre de tricycles.
• La traduction des contraintes : L'énoncé fournit deux informations distinctes. La première concerne le nombre d'enfants (donc le nombre total de véhicules), la seconde concerne le nombre de roues.
• La méthode de résolution : En Première Spécialité, vous devez maîtriser la méthode par substitution et la méthode par combinaison linéaire (ou addition).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Mise en équation du système :

Nous avons 64 enfants, ce qui signifie qu'il y a 64 véhicules au total : $x + y = 64$.
Un vélo a 2 roues et un tricycle en a 3. Le total est de 151 roues : $2x + 3y = 151$.

2. Résolution par substitution :

De la première équation, on exprime $x$ en fonction de $y$ : $x = 64 - y$.
On substitue cette expression dans la deuxième équation :
$2(64 - y) + 3y = 151$
$128 - 2y + 3y = 151$
$128 + y = 151$
$y = 151 - 128 = 23$.

On remplace ensuite $y$ pour trouver $x$ : $x = 64 - 23 = 41$. Il y a donc 41 vélos et 23 tricycles engagés.

3. Calcul financier :

Chaque vélo rapporte 500 F et chaque tricycle 400 F.
Somme = $41 \times 500 + 23 \times 400 = 20500 + 9200 = 29700$ F.

Lien avec le programme de Première Spécialité

Cette approche est le socle de l'étude des systèmes linéaires. Graphiquement, résoudre ce système revient à chercher l'intersection de deux droites dans un repère. En spécialité, ces notions évoluent vers des systèmes à trois inconnues ou vers l'utilisation de matrices. La rigueur de la rédaction et la vérification systématique des solutions (41 + 23 = 64 et 82 + 69 = 151) sont des réflexes indispensables pour réussir les épreuves du baccalauréat.