Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Asie 2015, traite d'une application historique et concrète des mathématiques : la triangulation. Bien que posé initialement au niveau brevet, sa structure et l'utilisation de la loi des sinus en font un excellent support de révision pour le programme de Première Spécialité, notamment dans le chapitre sur la trigonométrie et les relations dans le triangle quelconque.

L'objectif est de déterminer la distance séparant un bateau de la plage en utilisant uniquement des mesures d'angles et une longueur de base. Ce problème mobilise des compétences en géométrie plane, en manipulation de formules trigonométriques et en résolution de triangles.

Points de vigilance et notions requises

Pour réussir cet exercice, plusieurs prérequis du cycle terminal sont essentiels :

• Somme des angles : Savoir que la somme des angles intérieurs d'un triangle est égale à 180°.
• Loi des sinus : Maîtriser la relation $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ qui permet de calculer des longueurs ou des angles dans n'importe quel triangle.
• Trigonométrie du triangle rectangle : Utiliser le sinus (opposé/hypoténuse) pour extraire une hauteur (la distance $d$).
• Gestion des arrondis : Faire attention à la précision demandée (au centimètre près, soit deux décimales si l'on travaille en mètres).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Conjecturons la distance d

À l'échelle 1/1000, 10 m sont représentés par 1 cm. La distance $L = 80$ m sera donc représentée par un segment $[AB]$ de 8 cm. Après avoir tracé les angles de 45° et 65° aux extrémités, on mesure la perpendiculaire issue du point d'intersection (le bateau) vers le segment $[AB]$. On devrait trouver une mesure proche de 5,4 cm, soit une conjecture de 54 mètres environ.

2. Détermination par le calcul

a. Calcul de l'angle $\widehat{ACB}$ :

Dans le triangle ABC, la somme des angles est 180°. On a donc :
$\widehat{ACB} = 180 - (\widehat{BAC} + \widehat{ABC}) = 180 - (45 + 65) = 180 - 110 = 70^{\circ}$.

b. Calcul de la longueur BC :

D'après la loi des sinus fournie dans l'énoncé :
$\frac{BC}{\sin(45^{\circ})} = \frac{AB}{\sin(70^{\circ})}$
$BC = \frac{80 \times \sin(45^{\circ})}{\sin(70^{\circ})}$.
À l'aide de la calculatrice : $BC \approx \frac{80 \times 0,7071}{0,9397} \approx 60,198$ m.
Arrondi au cm près : BC ≈ 60,20 m.

c. Déduction de la longueur CH (la distance $d$) :

Dans le triangle BHC rectangle en H, on utilise le sinus de l'angle $\widehat{B}$ :
$\sin(\widehat{B}) = \frac{CH}{BC} \implies CH = BC \times \sin(65^{\circ})$.
$CH \approx 60,20 \times \sin(65^{\circ}) \approx 60,198 \times 0,9063 \approx 54,558$ m.
La distance $d$ séparant le bateau de la côte est donc d'environ 54,56 m.