Analyse de l'énoncé : La logique de partitionnement

Cet exercice, bien que tiré d'une base DNB 2026, mobilise des compétences fondamentales en arithmétique indispensables au niveau Première Spécialité. L'objectif est d'organiser une répartition équitable de deux populations distinctes (91 filles et 77 garçons) dans un nombre maximal de groupes identiques. Ce problème repose sur la recherche du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD).

En mathématiques expertes ou en spécialité, la manipulation des entiers naturels et la compréhension de la structure des nombres via la décomposition en facteurs premiers constituent le socle de l'arithmétique modulaire et de la cryptographie. Ici, la contrainte de 'chaque groupe ait le même nombre' impose que le nombre de groupes soit un diviseur commun aux deux effectifs.

Points de vigilance et notions de cours

Pour résoudre cet exercice avec rigueur, plusieurs points méritent votre attention :

• Reconnaissance des nombres premiers : Savoir identifier rapidement que 7, 11 et 13 sont des nombres premiers. Attention à 91, qui ressemble souvent à un nombre premier pour les élèves, mais qui est en réalité le produit de 7 et 13.
• Définition du PGCD : Comprendre que pour maximiser le nombre de groupes, il faut chercher le plus grand diviseur commun.
• Interprétation contextuelle : Ne pas confondre le nombre de groupes (le diviseur) avec le nombre d'élèves par groupe (le quotient).

Correction détaillée et guide de résolution

Voici la démarche pas à pas pour valider l'intégralité des points :

1. Décomposition en produits de facteurs premiers :

Pour 91 : On teste la divisibilité par les premiers nombres premiers. 91 n'est pas pair (pas par 2), la somme de ses chiffres est 10 (pas par 3), il ne finit pas par 0 ou 5 (pas par 5). En revanche, 91 / 7 = 13. Or 13 est premier.
Donc : 91 = 7 × 13.

Pour 77 : La répétition du chiffre 7 indique immédiatement la divisibilité par 7 et 11 (tous deux premiers).
Donc : 77 = 7 × 11.

2. Détermination du nombre maximal de groupes :

Le nombre de groupes doit être un diviseur commun à 91 et 77. Pour que ce nombre soit maximal, on cherche le PGCD(91 ; 77). En observant les décompositions précédentes, le seul facteur commun est 7.
Le nombre maximal de groupes que l'on peut former est donc 7.

3. Composition de chaque groupe :

Maintenant que nous avons 7 groupes, répartissons les élèves :

• Nombre de filles par groupe : 91 ÷ 7 = 13 filles.
• Nombre de garçons par groupe : 77 ÷ 7 = 11 garçons.
• Nombre total d'élèves par groupe : 13 + 11 = 24 élèves.

Conclusion : Chaque groupe sera composé de 24 élèves (13 filles et 11 garçons).