Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue une excellente introduction aux problématiques de modélisation thermique abordées en Première Spécialité. Il se divise en deux parties distinctes : l'analyse de courbes de refroidissement (interprétation graphique) et l'application d'une loi physique via une formule littérale (résistance thermique). En Première, ces courbes sont modélisées par des fonctions exponentielles de type $f(t) = (T_0 - T_{amb})e^{-kt} + T_{amb}$, où $T_{amb}$ représente ici les $6^{\circ}C$ de la chambre froide.

Points de vigilance et notions de cours

• Lecture de données : Il est crucial de repérer le palier initial (température de départ) et le moment où la décroissance s'amorce.
• Conversions d'unités : Dans la formule $R = e/c$, l'épaisseur $e$ est exprimée en mètres. La conversion de centimètres en mètres est l'erreur la plus fréquente.
• Manipulation de formules : Savoir isoler une variable dans une égalité ($e = R \times c$) est une compétence de base indispensable pour le chapitre sur les fonctions et la dérivation.

Correction détaillée

Partie 1 : Analyse graphique

• 1. Température initiale : Avant d'être placées dans la chambre froide, les maquettes présentent un plateau de température à $20^{\circ}C$. On lit l'ordonnée à l'origine ou la valeur constante sur les premières heures.
• 2. Durée de l'expérience : L'axe des abscisses s'étend de $0$ à $100$ heures. Sachant qu'une journée compte $24$ heures, deux jours correspondent à $48$ heures. L'expérience a duré $100$ heures, soit plus de $4$ jours. La réponse est donc affirmative.
• 3. Performance de l'isolant : L'isolant le plus performant est celui qui maintient la température initiale le plus longtemps possible. Sur les graphiques : la maquette C chute après $10$h, la A après $15$h, et la B après $20$h. La maquette B possède donc l'isolant le plus performant.

Partie 2 : Calculs de résistance thermique

• 1. Cas de Noa : L'épaisseur est $e = 15\text{ cm} = 0,15\text{ m}$. Le coefficient est $c = 0,035$. Calculons $R$ : $R = \frac{0,15}{0,035} \approx 4,286$. Comme $4,286 \ge 4$, la maison de Noa respecte la norme RT2012.
• 2. Cas de Camille : On cherche $e$ tel que $R = 5$ avec $c = 0,04$. De la relation $R = \frac{e}{c}$, on déduit $e = R \times c$. Soit $e = 5 \times 0,04 = 0,2\text{ m}$. Camille doit donc poser une épaisseur de $20\text{ cm}$ d'isolant.

Lien avec le programme de Première Spécialité

L'étude de la décroissance de la température vers une valeur limite ($6^{\circ}C$) préfigure l'étude des limites de fonctions et des suites convergentes. En Première, vous apprendrez que la vitesse de refroidissement est proportionnelle à la différence de température entre l'objet et le milieu ambiant (loi de Newton), ce qui mène directement à l'utilisation de la fonction exponentielle.