Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue une base fondamentale pour les élèves de Première Spécialité Mathématiques abordant le chapitre des probabilités. Il met en jeu deux épreuves indépendantes : le tirage d'une boule dans une urne et la rotation d'une roue de loterie. La structure de l'exercice permet de mobiliser les principes de multiplication des probabilités pour des événements successifs et la résolution d'équations simples pour modéliser une situation aléatoire.

Points de vigilance et notions de cours

• Événements indépendants : Le gain du gros lot dépend de deux succès consécutifs dont l'issue de l'un n'influence pas l'autre.
• Modélisation par un arbre : Bien que non demandé, l'usage d'un arbre pondéré est fortement conseillé pour visualiser les branches de succès.
• Équations de probabilité : La question 3 demande de traduire un énoncé probabiliste en une équation de type fractionnaire (P = n/N).

Correction détaillée et guide de résolution

1. Probabilité d'obtenir un multiple de 3 sur la roue : La roue est numérotée de 1 à 6. Les multiples de 3 présents sont {3 ; 6}. Il y a donc 2 issues favorables sur 6 issues possibles. La probabilité est de 2/6, soit 1/3.

2. Probabilité de gagner le gros lot : Pour gagner, il faut tirer une boule rouge ET obtenir un multiple de 3. La probabilité de tirer une rouge dans l'urne initiale (3 rouges sur 8 boules au total) est de 3/8. Comme les événements sont indépendants, on multiplie les probabilités : P(Gagner) = P(Rouge) × P(Multiple de 3) = (3/8) × (1/3) = 1/8 (soit 0,125 ou 12,5 %).

3. Modification de l'urne : On cherche le nombre n de boules rouges tel que la probabilité d'en tirer une soit 0,5. Le nombre de boules non-rouges reste fixe (3 vertes + 2 bleues = 5 boules). L'équation est : n / (n + 5) = 0,5. En multipliant par (n + 5), on obtient n = 0,5(n + 5), d'où n = 0,5n + 2,5. On en déduit 0,5n = 2,5, soit n = 5. Il faut donc 5 boules rouges.