Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue un excellent test de rentrée ou de révision pour un élève de Première Spécialité. Il mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane : décomposition de surfaces complexes, calcul de distances via le théorème de Pythagore, et gestion de pourcentages d'augmentation. L'aspect concret de la situation (rénovation d'un salon) impose une rigueur particulière sur l'arrondi des résultats (passage à l'entier supérieur pour l'achat de matériel).
Points de vigilance et notions requises
- Décomposition de surface : Savoir soustraire l'aire d'un triangle rectangle à celle d'un rectangle global pour obtenir l'aire de la pièce.
- Théorème de Pythagore : Indispensable pour calculer la longueur du segment incliné [BC].
- Augmentation de 10% : Maîtriser le coefficient multiplicateur (1,10).
- Contraintes réelles : Comprendre que pour les boîtes, les sacs ou les plinthes, on doit toujours arrondir à l'unité supérieure (fonction plafond).
Guide de résolution détaillé
1. Calcul de l'aire
Le point H a pour coordonnées implicites l'intersection des droites (AB) et (CD). On remarque que BH = GD - AB = 7 - 4 = 3 m. De même, CH = AG - CD = 5 - 3 = 2 m. L'aire du triangle rectangle BCH est donc : (3 × 2) / 2 = 3 m². L'aire de la pièce est l'aire du rectangle AGDH moins celle du triangle BCH : (7 × 5) - 3 = 32 m².
2. Carrelage et Colle
L'aire avec marge est 32 × 1,1 = 35,2 m².
Nombre de boîtes : 35,2 / 1,25 = 28,16 soit 29 boîtes.
Nombre de sacs de colle : 35,2 / 4 = 8,8 soit 9 sacs.
3. Périmètre et Plinthes
On calcule BC avec Pythagore : BC² = BH² + HC² = 3² + 2² = 13, donc BC = √13 ≈ 3,61 m.
Périmètre sans la porte : AB + BC + CD + DE + FG + GA = 4 + 3,61 + 3 + 5 + 1 + 5 = 21,61 m.
Avec la marge de 10% : 21,61 × 1,1 ≈ 23,77. Il faut donc 24 plinthes.
4. Budget total
Coût = (29 × 19,95) + (9 × 22) + (24 × 2,95) + 5,50 = 578,55 + 198 + 70,8 + 5,5 = 852,85 €. Soit 853 € après arrondi.