Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, mobilise des compétences fondamentales de modélisation et de calcul de grandeurs que tout élève de Première Spécialité doit maîtriser. Il s'articule autour de deux problématiques : la vérification de la linéarité d'un tarif (proportionnalité) et le calcul d'une masse totale impliquant des conversions d'unités complexes (grammage en g/m²).
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, il est impératif de bien distinguer les étapes de calcul et de ne pas négliger les unités. Les notions clés sont :
- La proportionnalité : Un tarif est proportionnel à la masse si le rapport Prix / Masse est constant pour toutes les valeurs du tableau.
- Le calcul de surface : L'aire d'une feuille A4 doit être calculée en mètres carrés (m²) pour être cohérente avec le grammage.
- Le grammage : Il s'agit d'une grandeur composée exprimant la masse par unité de surface (m = Aire × Grammage).
Correction détaillée
1. Étude de la proportionnalité :
Pour vérifier si le tarif est proportionnel à la masse, calculons le prix au gramme pour les deux premières tranches :
- Pour 20 g : 0,80 / 20 = 0,04 €/g.
- Pour 100 g : 1,60 / 100 = 0,016 €/g.
Les rapports ne sont pas égaux (0,04 ≠ 0,016). On en conclut que le tarif d'affranchissement n'est pas proportionnel à la masse de la lettre. C'est une fonction constante par morceaux.
2. Détermination du tarif d'affranchissement :
Calculons d'abord la masse d'une seule enveloppe : 175 g / 50 = 3,5 g.
Calculons ensuite la masse des documents. Alban envoie 2 lettres de motivation et 2 CV, soit 4 feuilles A4 au total.
- Dimensions d'une feuille en mètres : 0,21 m et 0,297 m.
- Aire d'une feuille : 0,21 × 0,297 = 0,06237 m².
- Masse d'une feuille : 0,06237 m² × 80 g/m² = 4,9896 g.
- Masse totale des 4 feuilles : 4 × 4,9896 = 19,9584 g.
Calculons la masse totale du courrier (enveloppe + feuilles) : 3,5 + 19,9584 = 23,4584 g.
En se référant à la grille tarifaire, la masse de 23,4584 g est supérieure à 20 g mais inférieure à 100 g. Alban doit donc choisir le tarif correspondant à la tranche 'jusqu'à 100 g', soit 1,60 €.