Analyse de l'énoncé

Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de fin de collège, constitue un rappel fondamental pour tout élève de Première Spécialité Mathématiques. La géométrie dans l'espace en Première s'appuie sur une maîtrise parfaite des solides usuels et de leurs propriétés métriques. L'objectif ici est double : savoir représenter des objets en perspective cavalière et manipuler des formules de volume impliquant des constantes irrationnelles comme \(\pi\).

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il est crucial de ne pas confondre le rayon et le diamètre, et d'identifier correctement la base de chaque solide. En Première, on attend également une rigueur particulière sur les valeurs exactes. L'utilisation de la calculatrice ne doit intervenir qu'en fin de processus pour établir un classement. Rappelons les formules utilisées :

• Pyramide : \(V = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times h\)
• Cylindre : \(V = \pi \times r^2 \times h\)
• Cône : \(V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\)
• Boule : \(V = \frac{4}{3} \times \pi \times r^3\)

Correction détaillée et guide de résolution

1. Représentations et dimensions : La représentation en perspective cavalière doit respecter les conventions : les arêtes cachées sont en pointillés et les fuyantes sont inclinées (souvent 30° ou 45°). Pour la pyramide, on trace un parallélogramme pour la base rectangulaire. Pour le cylindre et le cône, les bases circulaires sont représentées par des ellipses.

2. Calculs des volumes (en \(\text{cm}^3\)) :

• Pyramide : La base est un rectangle de \(6 \times 3 = 18\). Donc, \(V_1 = \frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36\).
• Cylindre : Avec \(r = 2\) et \(h = 3\), \(V_2 = \pi \times 2^2 \times 3 = 12\pi\). En valeur approchée, \(V_2 \approx 37,70\).
• Cône : Avec \(r = 3\) et \(h = 3\), \(V_3 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 3 = 9\pi\). En valeur approchée, \(V_3 \approx 28,27\).
• Boule : Avec \(r = 2\), \(V_4 = \frac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{32}{3}\pi\). En valeur approchée, \(V_4 \approx 33,51\).

Classement par ordre croissant

Comparons les valeurs exactes ou leurs approximations :

• \(9\pi \approx 28,27\) (Cône)
• \(\frac{32}{3}\pi \approx 33,51\) (Boule)
• \(36\) (Pyramide)
• \(12\pi \approx 37,70\) (Cylindre)

L'ordre croissant est donc : Cône < Boule < Pyramide < Cylindre.

Lien avec le programme de Première Spécialité

En Première, ces calculs peuvent être automatisés en Python pour comparer des familles de solides ou optimiser des volumes (dérivation). Voici un exemple de script :

import math

def volumes():
    v_pyr = (1/3) * (6 * 3) * 6
    v_cyl = math.pi * 2**2 * 3
    v_cone = (1/3) * math.pi * 3**2 * 3
    v_boule = (4/3) * math.pi * 2**3
    return {'Pyramide': v_pyr, 'Cylindre': v_cyl, 'Cône': v_cone, 'Boule': v_boule}