Analyse de l'énoncé
Cet exercice, issu du sujet Amérique du Sud 2017, mobilise des compétences de géométrie plane appliquées à un volume (prisme droit). L'enjeu est de calculer la surface habitable d'un studio situé sous des combles, définie par une hauteur sous plafond minimale de 1,80 m. Ce problème est une excellente application pratique de la Trigonométrie ou du Théorème de Thalès dans une situation concrète d'immobilier.
Points de vigilance et notions requises
- Identification des triangles : Il faut travailler dans la section transversale du prisme, le triangle ABC isocèle en C.
- Théorème de Thalès : La hauteur sous plafond (1,80 m) est parallèle à la hauteur principale (2,90 m). Cette configuration de triangles emboîtés permet de déterminer la largeur de la zone habitable.
- Surface Habitable : Elle correspond à l'aire d'un rectangle de longueur 8 m et de largeur égale au segment où la hauteur est supérieure à 1,80 m.
Correction détaillée
1. Calcul de la largeur de la zone habitable :
Soit K le pied de la hauteur issue de C dans le triangle ABC. Puisque ABC est isocèle en C, K est le milieu de [AB]. On a donc BK = 5 m et CK = 2,90 m. Soit H le point au sol où la hauteur sous plafond est JH = 1,80 m. Dans le triangle BKC, les droites (JH) et (CK) sont parallèles. D'après le théorème de Thalès :
\( \frac{BH}{BK} = \frac{JH}{CK} \) soit \( \frac{BH}{5} = \frac{1,80}{2,90} \).
D'où \( BH = \frac{1,80 \times 5}{2,90} \approx 3,103 \) m.
La distance entre le centre K et le point H est : \( KH = BK - BH = 5 - 3,103 = 1,897 \) m.
La largeur totale de la zone habitable est donc \( 2 \times KH = 2 \times 1,897 = 3,794 \) m.
2. Calcul de la surface habitable :
Le studio a une longueur de 8 m. La surface habitable est donc : \( S = 3,794 \times 8 \approx 30,35 \) m².
3. Vérification du loyer :
Le prix maximum autorisé est de 20 € par m². Le loyer maximum possible est donc : \( 30,35 \times 20 = 607 \) €.
Madame Duchemin souhaite fixer le loyer à 700 €. Comme \( 700 > 607 \), elle ne peut pas louer son studio à ce prix.