Analyse de l'énoncé

Cet exercice, issu du sujet Étrangers 2017, propose une approche pluridisciplinaire mêlant la géométrie plane (théorème de Pythagore et trigonométrie) et l'algorithmie via le logiciel Scratch. L'objectif est de modéliser un tracé géométrique répétitif (une rue de maisons) et d'effectuer des calculs de dimensions pour l'ajout d'une cheminée.

Points de vigilance et notions requises

• Théorème de Pythagore : Utilisé pour calculer la distance horizontale $d$ correspondant à la base du toit incliné.
• Boucles et variables : Comprendre la structure répétitive du programme principal pour calculer l'encombrement total sur l'axe des abscisses.
• Trigonométrie dans le triangle rectangle : Utilisation du sinus et du cosinus pour déterminer des longueurs dans des configurations de triangles emboîtés.

Guide de résolution détaillé

1. Calcul de la distance $d$

Le toit de la maison est formé par deux segments de longueur 50 orientés à 45°. En projetant ces segments sur l'horizontale, on forme un triangle rectangle isocèle dont l'hypoténuse est $d$ et les côtés de l'angle droit valent 50. D'après le théorème de Pythagore : $d^2 = 50^2 + 50^2 = 2500 + 2500 = 5000$. Ainsi, $d = \sqrt{5000} \approx 70,71$. À l'unité près, on a bien $d \approx 71$.

2. Calcul du nombre de maisons $n$

La fenêtre d'exécution s'étend de -240 à 240, soit une largeur totale de $480$ unités. Le programme commence à $x = -240$. Chaque itération de la boucle trace une maison (largeur $d \approx 71$) puis avance de 20 unités. La largeur consommée par une répétition est donc $71 + 20 = 91$. On cherche $n$ tel que $91n \le 480$, soit $n \le \frac{480}{91} \approx 5,27$. Le plus grand entier est donc $n = 5$.

3. Calculs pour la cheminée

• Calcul de $EM$ : Dans le triangle $EAM$ rectangle en $E$, $\sin(30^\circ) = \frac{EM}{AM}$, donc $EM = 16 \times \sin(30^\circ) = 16 \times 0,5 = 8$.
• Calcul de $HC$ : On a $AC = AM + MC = 16 + 10 = 26$. Dans le triangle $HAC$ rectangle en $H$, $HC = AC \times \sin(30^\circ) = 26 \times 0,5 = 13$.
• Calcul de $HE$ : $HE = HA - EA$. On calcule $HA = 26 \times \cos(30^\circ) = 13\sqrt{3}$ et $EA = 16 \times \cos(30^\circ) = 8\sqrt{3}$. D'où $HE = 5\sqrt{3} \approx 8,66$.