Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de 2017, constitue une introduction parfaite à l'étude des fonctions de type f(t) = A(1 - e^{-kt}) abordées en classe de Première Spécialité. Il s'agit de modéliser la charge d'un condensateur, un grand classique des problèmes de modélisation physique utilisant la fonction exponentielle. L'élève doit être capable de faire le lien entre une représentation graphique courbe et l'absence de proportionnalité, tout en extrayant des informations précises d'un graphique comportant des unités spécifiques.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences du programme de mathématiques de Première sont sollicitées :
- Reconnaissance de la proportionnalité : Savoir qu'une situation de proportionnalité est représentée graphiquement par une droite passant par l'origine.
- Lecture graphique : Interpréter les axes (Temps en secondes et Tension en Volts) et utiliser les graduations fines (ici 0,01s par petite division horizontale).
- Calcul de pourcentage : Appliquer un taux (60%) à une valeur maximale pour déterminer un seuil.
- Fonction Exponentielle : Comprendre que la courbe tend vers une asymptote horizontale (ici y=5), caractéristique de la croissance de la charge d'un condensateur.
Correction détaillée et guide de résolution
1. Situation de proportionnalité :
Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l'origine du repère. Ici, bien que la courbe passe par l'origine (0,0), il s'agit d'une courbe (croissance concave) et non d'une droite. Ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
2. Tension au bout de 0,2 seconde :
En se plaçant à l'abscisse t = 0,2 sur l'axe des temps, on remonte verticalement jusqu'à l'intersection avec la courbe bleue. On lit ensuite l'ordonnée correspondante sur l'axe des tensions. Graphiquement, pour t = 0,2 s, on trouve une tension d'environ 4,3 V (le calcul exact via la fonction f(x)=5(1-e^{-10x}) donne 4,32 V).
3. Atteinte de 60 % de la tension maximale :
D'abord, calculons le seuil : 60 % de 5 V = 0,60 × 5 = 3 V. Nous devons trouver le temps t tel que la tension soit de 3 V. En traçant une ligne horizontale à l'ordonnée y = 3, on coupe la courbe à une abscisse située juste avant 0,1. Une lecture précise indique environ 0,09 seconde.