Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet, constitue une excellente introduction aux notions de taux de variation et de vitesse instantanée étudiées en Première Spécialité. Il mobilise des compétences transversales : la conversion d'unités complexes (volumes et surfaces), la lecture graphique et l'interprétation d'une pente. L'objectif est de lier un phénomène physique (la pluie) à un modèle mathématique fonctionnel.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, il est crucial de maîtriser les points suivants :
- Conversions d'unités : Savoir passer des mètres cubes aux litres et des millimètres carrés aux mètres carrés. Rappel : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3$ et $1 \text{ m}^3 = 10^9 \text{ mm}^3$.
- Vitesse moyenne vs Dérivée : Dans la partie II, on calcule une vitesse moyenne d'accumulation. En Première, on ferait le lien avec le coefficient directeur d'une sécante à la courbe, prémisse du nombre dérivé.
- Lecture graphique : Identifier les asymptotes horizontales (ici, le moment où la pluie s'arrête et où la hauteur d'eau stagne).
Correction détaillée et guide de résolution
Partie I :
- 1. Prouvons que $1 \text{ mm} = 1 \text{ L/m}^2$. On sait que $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000\,000 \text{ mm}^3$. La surface $S = 1 \text{ m}^2 = 1\,000\,000 \text{ mm}^2$. En appliquant $H = V/S$, on a $H = 1\,000\,000 / 1\,000\,000 = 1 \text{ mm}$. La relation est vérifiée.
- 2. Avec $H = 10 \text{ mm}$ et $S = 0,01 \text{ m}^2 = 10\,000 \text{ mm}^2$, le volume $V = H \times S = 10 \times 10\,000 = 100\,000 \text{ mm}^3$, soit $0,1 \text{ L}$ ou $100 \text{ mL}$.
Partie II :
- 1. La courbe devient horizontale (stagnation à $3 \text{ mm}$) à environ $t = 2500 \text{ s}$. $2500$ secondes correspondent à $41 \text{ min } 40 \text{ s}$. Si la pluie commence à $17\text{h}15$, elle s'arrête vers $17\text{h}56$ et $40 \text{ s}$.
- 2. Calcul de la vitesse d'accumulation : La hauteur totale est $3 \text{ mm}$ pour une durée de $2500 \text{ s}$. Convertissons la durée en heures : $2500 / 3600 \approx 0,694 \text{ h}$. La vitesse est $V = 3 / 0,694 \approx 4,32 \text{ mm/h}$. Selon le tableau, $2,6 < 4,32 < 7,5$, la pluie est donc qualifiée de modérée.