Analyse de l'énoncé
Cet exercice de mathématiques, bien qu'initialement posé au DNB, constitue un excellent support pour réviser les automatismes de Première Spécialité. Il s'articule autour de trois thématiques majeures : la proportionnalité liée aux vitesses, la manipulation d'expressions algébriques complexes (polynômes du second degré) et la résolution d'équations impliquant des carrés. L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'un modèle concret (distance de freinage, vitesse de nage) à une formalisation mathématique rigoureuse.
Points de vigilance et notions requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences sont indispensables :
- Conversions d'unités : Passer des mètres par seconde (m/s) aux kilomètres par heure (km/h) en multipliant par 3,6.
- Identités remarquables : Reconnaître la forme (a+b)² et la différence de deux carrés a² - b².
- Équations-produits : Savoir qu'un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul.
- Isoler une variable : Extraire une variable au carré dans une formule physique en utilisant la racine carrée (en tenant compte du contexte positif pour une vitesse).
Correction détaillée et guide de résolution
1. Comparaison de vitesses :
Pernille Blume parcourt 50 m en 24,07 s. Sa vitesse est $v = \frac{50}{24,07} \approx 2,077$ m/s. Pour comparer avec 6 km/h, convertissons : $2,077 \times 3,6 \approx 7,48$ km/h. Puisque $7,48 > 6$, elle a nagé plus vite qu'un marcheur rapide.
2. Algèbre et Polynômes :
- Développement : $E = (3x + 8)^2 - 64 = (9x^2 + 48x + 64) - 64 = 9x^2 + 48x$.
- Factorisation : En utilisant $a^2 - b^2$ avec $a = 3x+8$ et $b = 8$, on obtient $E = (3x+8-8)(3x+8+8) = 3x(3x+16)$.
- Résolution : L'équation $E=0$ devient $3x(3x+16) = 0$. Les solutions sont $x = 0$ ou $3x = -16$, soit $x = -\frac{16}{3}$.
Application au second degré (Freinage)
On nous donne $d = k \times V^2$. Sur route mouillée, $k = 0,14$ et $d = 15$. On cherche $V$ tel que $15 = 0,14 \times V^2$. On isole $V^2$ : $V^2 = \frac{15}{0,14} \approx 107,14$. En prenant la racine carrée (la vitesse étant positive), on trouve $V = \sqrt{107,14} \approx 10,35$ m/s.