Analyse de l'énoncé : Extraction de données et modélisation
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet (Amérique du Nord 2018), mobilise des compétences fondamentales en modélisation linéaire et en algorithmie, piliers du programme de mathématiques de Première Spécialité. L'énoncé nous présente une interface de téléchargement où trois informations clés doivent être extraites : le volume déjà chargé (9,7 Mo), la capacité totale du fichier (115,2 Mo) et la vitesse de transfert, supposée constante (1,3 Mo/s). L'objectif est de vérifier si une condition temporelle (t > 85 secondes) est remplie. Pour un élève de spécialité, ce problème est une introduction parfaite à l'étude des taux d'accroissement constants et des suites arithmétiques.
Points de vigilance : Notions de cours requises
Pour réussir cet exercice, plusieurs concepts mathématiques et logiques doivent être maîtrisés :
- La différentiation des stocks et des flux : Il ne faut pas confondre le volume total avec le volume restant. Le calcul du reste à charger ($115,2 - 9,7 = 105,5$ Mo) est l'étape préliminaire indispensable.
- L'homogénéité des unités : Le débit est fourni en Mégaoctets par seconde (Mo/s). Le résultat du calcul de durée sera donc naturellement en secondes. La comparaison avec 1 minute et 25 secondes nécessite une conversion préalable en une unité commune.
- Modélisation fonctionnelle : On peut modéliser le volume téléchargé $V$ en fonction du temps $t$ par une fonction affine : $V(t) = 1,3t + 9,7$. Résoudre l'exercice revient à déterminer la valeur de $t$ pour laquelle $V(t) = 115,2$.
Correction détaillée et guide de résolution
Voici la démarche pas à pas pour aboutir à la solution :
- Étape 1 : Déterminer la quantité de données restante. On soustrait la partie déjà téléchargée du total : $115,2 - 9,7 = 105,5$ Mo.
- Étape 2 : Calculer le temps nécessaire. En utilisant la relation fondamentale $Temps = \frac{Volume}{Débit}$, on obtient : $t = \frac{105,5}{1,3} \approx 81,15$ secondes.
- Étape 3 : Convertir la durée de référence. La question mentionne 1 minute et 25 secondes. Comme une minute contient 60 secondes, nous avons : $60 + 25 = 85$ secondes.
- Étape 4 : Conclusion logique. On compare les deux durées. Puisque $81,15 < 85$, le téléchargement se terminera en moins de 85 secondes. La réponse est donc négative : il ne faudra pas plus d'une minute et 25 secondes.
Lien avec le programme de Spécialité : Algorithmie et Suites
D'un point de vue algorithmique, cette situation peut être traduite par une structure itérative. En Python, on pourrait simuler cela avec une boucle : while volume < 115.2: volume += 1.3. Parallèlement, on peut voir ce problème comme une suite arithmétique $(u_n)$ où $u_0 = 9,7$ et la raison $r = 1,3$. Chercher le temps de téléchargement revient à chercher le rang $n$ tel que $u_n \geq 115,2$. Cette approche renforce la compréhension des phénomènes à croissance linéaire, essentiels pour aborder plus tard les limites de suites et la continuité en Première Spécialité.