Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'un sujet de brevet initialement, pose les bases fondamentales de la manipulation des probabilités requises en classe de Première Spécialité. Il sollicite la capacité de l'élève à passer d'un effectif à une probabilité (modèle de Laplace), à effectuer un calcul inverse pour retrouver une quantité à partir d'une proportion, et enfin à comparer deux proportions exprimées sous des formes différentes (fractionnaire et pourcentage).
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences mathématiques sont mobilisées :
- L'équiprobabilité : On suppose que chaque morceau a la même chance d'être choisi. La probabilité d'un événement est alors définie par le rapport : (Nombre d'issues favorables) / (Nombre total d'issues).
- Manipulation des fractions : Savoir simplifier une fraction pour la rendre plus lisible.
- Calcul de quatrième proportionnelle : Déterminer un effectif à partir d'une fréquence et d'un total.
- Comparaison de nombres rationnels : Transformer une fraction en écriture décimale ou en pourcentage pour faciliter la comparaison.
Correction détaillée
1. Probabilité d'écouter du rap :
Le nombre total de morceaux est de 375. Le nombre de morceaux de rap est de 125. En situation d'équiprobabilité, la probabilité est donnée par :
\( P(\text{Rap}) = \frac{125}{375} \).
En simplifiant par 125 (puisque \( 375 = 3 \times 125 \)), on obtient : \( P(\text{Rap}) = \frac{1}{3} \).
Théo a donc une chance sur trois d'écouter du rap.
2. Nombre de morceaux de rock :
On sait que la probabilité d'écouter du rock est de \( \frac{7}{15} \). Le nombre total de morceaux restant fixe (375), nous devons calculer :
\( N_{\text{rock}} = \frac{7}{15} \times 375 \).
Calculons d'abord \( 375 / 15 = 25 \). Ensuite, \( 7 \times 25 = 175 \).
Théo possède donc 175 morceaux de rock dans son lecteur.
3. Comparaison entre Théo et Alice :
Pour comparer les chances d'écouter du rock, exprimons les deux probabilités sous la même forme :
- Pour Théo : \( \frac{7}{15} \approx 0,4667 \), soit environ 46,7 %.
- Pour Alice : 40 % soit 0,4.
Comme \( 0,4667 > 0,4 \), c'est Théo qui a la plus grande probabilité d'écouter un morceau de rock lors d'une lecture aléatoire.