Analyse de l'énoncé
Cet exercice, bien qu'issu d'une base de Diplôme National du Brevet, permet de retravailler des automatismes fondamentaux pour un élève de Première Spécialité. Il s'articule autour de trois axes majeurs : la conversion d'unités complexes (vitesse), le calcul de distances à partir d'une échelle cartographique et l'utilisation de la proportionnalité pour estimer des dimensions réelles. En Première, la maîtrise de ces notions est cruciale pour aborder sereinement la cinématique en physique ou la géométrie repérée en mathématiques.
Points de vigilance et notions de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs compétences doivent être mobilisées :
- La conversion de vitesse : Il faut savoir passer des mètres par seconde (m/s) aux kilomètres par heure (km/h). Rappel : $1 \text{ m/s} = 3,6 \text{ km/h}$.
- La relation Vitesse-Distance-Temps : La formule fondamentale $v = \frac{d}{t}$ doit être manipulée pour isoler le temps $t = \frac{d}{v}$.
- La lecture d'échelle : Interpréter une carte demande de la précision dans la mesure et la compréhension du rapport d'homothétie entre le dessin et la réalité.
- La gestion des arrondis : L'énoncé impose des précisions spécifiques (à 50 km près, à la minute près) qu'il faut rigoureusement respecter.
Guide de résolution détaillé
1. Conversion de la vitesse
La vitesse donnée est de $1500 \text{ m/s}$. Pour convertir en km/h, on multiplie par $3600$ (secondes dans une heure) puis on divise par $1000$ (mètres dans un kilomètre). Ce qui revient à multiplier par $3,6$.
Calculation : $1500 \times 3,6 = 5400 \text{ km/h}$.
2. Communication entre baleines (Alaska)
a. Distance : Sur la carte fournie dans le sujet original, la mesure à la règle entre les deux points multipliée par l'échelle donne environ $2000 \text{ km}$. Si l'on utilise un repère orthonormé local, on calcule la norme du vecteur séparant les deux groupes.
b. Temps de propagation : On utilise $t = \frac{d}{v}$. Avec $d = 2000 \text{ km}$ et $v = 5400 \text{ km/h}$, on obtient $t \approx 0,37 \text{ heures}$.
Pour convertir en minutes : $0,37 \times 60 \approx 22,2$ minutes. L'arrondi à la minute près est donc de $22$ minutes.
3. Taille de la baleine bleue
On utilise le principe de proportionnalité (Théorème de Thalès ou simple produit en croix). Si la taille de l'homme sur l'image est de $h_{img}$ et celle de la baleine $B_{img}$, le rapport est $k = \frac{B_{img}}{h_{img}}$.
En mesurant, on constate que la baleine est environ $15$ à $16$ fois plus grande que l'homme. Avec un homme de $1,75 \text{ m}$, on calcule : $1,75 \times 15 \approx 26,25 \text{ m}$. Arrondi au mètre, la baleine mesure environ $26$ mètres.