Analyse de l'énoncé : Comprendre les transformations

Cet exercice porte sur les homothéties, une transformation géométrique fondamentale. Dans le cadre du programme de Première Spécialité, bien que les homothéties soient introduites au collège, elles sont réinvesties à travers la géométrie vectorielle et la notion de colinéarité. L'énoncé demande de manipuler les rapports de réduction et d'agrandissement (notés k) et de comprendre leur impact sur les longueurs et les aires.

Points de vigilance et notions de cours

Pour réussir cet exercice, il faut maîtriser deux concepts clés :

• Définition vectorielle : Si M' est l'image de M par l'homothétie de centre O et de rapport k, alors $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.
• Propriété des aires : Si les longueurs d'une figure sont multipliées par un rapport k, alors son aire est multipliée par $k^2$.
• Composition : Appliquer un rapport $k_2$ à une figure déjà transformée par un rapport $k_1$ revient à appliquer un rapport global $k_{total} = k_1 \times k_2$.

Guide de résolution détaillé

Question 1 : Rapport de A vers C
En observant les coordonnées ou les distances depuis le centre O, on remarque que les sommets de la figure C sont situés trois fois plus loin du point O que ceux de la figure A. Par exemple, si l'on regarde l'abscisse du point A (2) et celle du point C (6), le rapport est de $6/2 = 3$.
Réponse : Le rapport est 3.

Question 2 : Application du rapport 3/5 à la figure E
La figure E est obtenue par une homothétie de centre O et de rapport 5 (puisque son sommet E a une abscisse de 10, comparée à l'abscisse 2 de A). Appliquer un rapport de $3/5$ sur une figure qui est déjà à un facteur 5 de l'originale revient à faire : $5 \times \frac{3}{5} = 3$.
Réponse : On obtient la figure C.

Question 3 : Rapport des aires
On cherche une figure dont l'aire est 4 fois plus grande que celle de la figure A. Soit k le rapport de l'homothétie. On sait que l'aire est multipliée par $k^2$. On résout $k^2 = 4$, ce qui donne $k = 2$ (un rapport d'homothétie est ici positif car les figures sont du même côté du centre). La figure ayant un rapport de 2 par rapport à A est la figure B (abscisse 4 au lieu de 2).
Réponse : C'est la figure B.