Analyse de l'énoncé

Cet exercice, extrait du sujet de Pondichéry 2018, mobilise des compétences fondamentales en géométrie plane : la reconnaissance de transformations isométriques, le calcul d'aires par décomposition et l'étude des rapports d'agrandissement-réduction. Bien que le support soit un motif de pavage classique, le « pied-de-coq », l'analyse mathématique requiert de la rigueur, notamment dans l'utilisation d'un repère ou d'un quadrillage pour quantifier les déplacements et les surfaces.

Points de vigilance et notions de cours

• Translation et Vecteurs : Dans le cadre du programme de Première Spécialité, une transformation qui conserve les longueurs et les angles sans rotation est une translation. On l'identifie par son vecteur directeur $\vec{u}(x; y)$.
• Additivité des Aires : Pour calculer l'aire d'un polygone complexe, la méthode la plus efficace est la décomposition en figures élémentaires (carrés et triangles) ou l'application du théorème de Pick si les sommets sont sur les nœuds du quadrillage.
• Rapport d'Agrandissement-Réduction : C'est le point crucial de l'exercice. Si les dimensions d'une figure sont multipliées par un coefficient $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$.

Correction Détaillée

1. Identification de la transformation : En observant la figure 1, on constate que le motif 2 s'obtient par un glissement du motif 1 sans rotation ni retournement. Il s'agit d'une translation. En utilisant le quadrillage de la figure 2 comme référence, on peut préciser que le vecteur de cette translation correspond à un déplacement de 2 unités vers la droite et 2 unités vers le haut.

2. Calcul de l'aire du motif : En prenant $AB = 1$ cm comme unité de longueur, chaque petit carré du quadrillage a une aire de $1$ cm². En décomposant le motif « pied-de-coq » présenté en figure 2, on peut compter le nombre de carreaux unités. Par complémentarité ou par découpage (en déplaçant les triangles pour former des carrés), on trouve que l'aire totale du motif est de 8 cm².

3. Analyse de l'affirmation de Marie : Marie affirme que diviser les longueurs par 2 divise l'aire par 2. Mathématiquement, diviser les longueurs par 2 revient à appliquer un coefficient de réduction $k = \frac{1}{2}$. La propriété du cours stipule que l'aire est alors multipliée par $k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$. L'aire serait donc divisée par 4 et non par 2. Marie a donc tort. Pour un motif de 8 cm², la nouvelle aire serait de $8 \times 0,25 = 2$ cm².