Analyse de l'énoncé et Enjeux Pédagogiques
Cet exercice, bien qu'issu initialement d'un sujet de fin de collège (Asie 2018), constitue une base de révision indispensable pour un élève de Première Spécialité Mathématiques. La géométrie dans l'espace et la modélisation de solides complexes sont des prérequis essentiels pour aborder des notions plus avancées comme le produit scalaire dans l'espace ou l'optimisation de fonctions (volumes maximaux). L'exercice demande de décomposer un objet complexe (une yourte) en deux formes géométriques élémentaires : le cylindre de révolution et le cône de révolution.
Points de vigilance et Rappels de cours
Pour réussir cet exercice, plusieurs points techniques doivent être maîtrisés :
- La distinction Rayon/Diamètre : L'énoncé donne une largeur totale de 7 m, ce qui correspond au diamètre. Le rayon (r = 3,5 m) est la valeur à utiliser dans toutes les formules d'aire et de volume.
- L'identification des hauteurs : La hauteur totale est de 4,5 m, mais elle se décompose. La hauteur du cylindre est explicitement de 2,5 m. Il faut donc déduire la hauteur du cône par soustraction : 4,5 - 2,5 = 2 m.
- Les unités et les échelles : Lors du passage à la maquette, le coefficient de réduction k = 1/25 s'applique aux longueurs. Notez que pour les aires, on utiliserait k² et pour les volumes k³.
Correction Détaillée et Guide de Résolution
1. Comparaison de la surface au sol :
La surface au sol de la yourte est un disque de diamètre 7 m, soit de rayon $R = 3,5$ m. Sa surface $A$ est donnée par la formule $A = \pi \times R^2$.
$A = \pi \times 3,5^2 = 12,25\pi \approx 38,48$ m².
L'appartement de Samia mesure 35 m². Puisque $38,48 > 35$, la surface au sol de la yourte est bien supérieure à celle de l'appartement.
2. Calcul du volume total de la yourte :
Le volume total $V$ est la somme du volume du cylindre ($V_1$) et du volume du cône ($V_2$).
- Volume du cylindre : $V_1 = \pi \times 3,5^2 \times 2,5 = 30,625\pi \approx 96,21$ m³.
- Volume du cône : La hauteur du cône est $h = 4,5 - 2,5 = 2$ m.
$V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3,5^2 \times 2 = \frac{24,5}{3}\pi \approx 25,66$ m³.
Volume Total : $V \approx 96,21 + 25,66 \approx 121,87$ m³. La yourte offre donc un volume d'environ 122 m³.
3. Calcul de la hauteur de la maquette :
L'échelle est de $1/25$. Cela signifie que les dimensions réelles sont divisées par 25. La hauteur réelle totale est de 4,5 m.
$H_{maquette} = \frac{4,5}{25} = 0,18$ m, soit 18 cm.